Тема 2. Вариационные задачи с неподвижными границами

2.1. Постановка простейшей вариационной задачи с неподвижными границами. Основная лемма вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума функционала (уравнение Эйлера).

2.2. Простейшие случаи интегрирования уравнения Эйлера. Функционалы, не зависящие от у'. Функционалы, зависящие от у' линейно. Функционалы, зависящие лишь от у'. Функционалы, независящие у. Функционалы, зависящие явно от x. Решение задачи о минимальной поверхности и задачи о брахистохроне.

2.3. Обобщение простейшей вариационной задачи. Функционалы, зависящие от нескольких функций одной независимой переменной и их первых производных. Система уравнений Эйлера. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера-Пуассона.

2.4. Обобщение простейшей вариационной задачи. Функционалы от нескольких функций одной переменной и их производных более высокого порядка. Система уравнений Эйлера Пуассона. Функционалы, зависящие от функции двух независимых переменных и их частных производных первого порядка. Уравнение Остроградского. Обобщение на случай функции нескольких независимых переменных. Функционалы, зависящие от функции двух независимых переменных и их частных производных до второго порядка включительно.

Тема 3. Вариационные задачи с подвижными границами

3.1 Задача с подвижными концами. Простейшая вариационная задача с подвижными границами. Условия трансверсальности.

3.2. Экстремали с угловыми точками. Задача об отражении экстремалей. Преломление экстремалей.

Тема 4. Вариационные задачи на условный экстремум

1. Основные типы задач на условный экстремум.

2. Необходимые условия в задаче Лагранжа.

3. Необходимые условия в изопериметрической задачи.

Тема 5. Достаточные условия экстремума

5.1. Наклон поля в точке. Функция наклона. Центральное поле. Построение центрального поля экстремалей. Условие Якоби. Уравнение Якоби.

5.2. Достаточные условия сильного и слабого экстремумов функционала. Функция Вейерштрасса. Достаточные условия слабого экстремума. Достаточные условия сильного экстремума. Примеры. Условия Лежандра. Примеры.

Тема 6. Вариационные методы в оптимальном управлении

6.1. Постановка задачи оптимального управления. Управляемый объект (система). Понятие о задаче оптимального управления. Классификация задач оптимального управления. Примеры задач оптимального управления.

6.2. Задача Лагранжа в форме Понтрягина. Постановка задачи Лагранжа в форме Понтрягина. Метод множителей Лагранжа. Вспомогательный функционал. Задача Лагранжа в форме Понтрягина в случае подвижных концов. Функция Понтрягина. Гамильтоновы системы.

6.3. Некоторые задачи с ограничениями в классическом вариационном исчислении. Фазовые ограничения и ограничения на управление. Необходимые условия экстремума функционала в задачах с ограничениями. Условия сопряжения.

6.4. Линейные задачи оптимального управления. Линейные управляемые системы. Задача оптимального быстродействия. Уравнение возмущённого движения, уравнение первого приближения. Решение задачи оптимального быстродействия. Управляемая система. Необходимое и достаточное условие управляемой системы.