5. Аналіз основної тенденції розвитку в рядах динаміки

Одним з найважливіших завдань статистики є визначення в рядах динаміки загальної тенденції розвитку явища. В деяких випадках закономірність зміни явища, загальна тенденція його розвитку явно і виразно відбивається рівнями динамічного ряду (рівні за період, що вивчається, безперервно ростуть або безперервно знижуються) ,але часто доводиться зустрічатися з такими рядами динаміки, в яких рівні ряду зазнають самі різні зміни (то зростають, то убувають), і загальна тенденція розвитку незрозуміла.

На розвиток явища в часі роблять вплив чинники, різні по характеру і силі дії. Одні з них надають практично постійну дію і формують в рядах динаміки певну тенденцію розвитку. Дія ж інших чинників може бути короткочасною або носити випадковий характер.Тому при аналізі динаміки мова йде не просто про тенденцію розвитку, а про основну тенденцію, достатньо стабільну (стійкою) впродовж вивченого етапу розвитку.

Основною тенденцією розвитку (трендом) називається плавна і стійка зміна рівня явища в часі, вільне від випадкових коливань. Завдання полягає в тому, щоб виявити загальну тенденцію в зміні рівнів ряду, звільнену від дії різних випадкових чинників. З цією метою ряди динаміки піддаються обробці методами укрупнення інтервалів, ковзної середньої і аналітичного вирівнювання.

Одним з найбільш простих методів вивчення основної тенденції в рядах динаміки є укрупнення інтервалів. Він заснований на укрупненні періодів часу, до яких відносяться рівні ряду динаміки (одночасно зменшується кількість інтервалів). Наприклад, ряд щодобового випуску продукції замінюється рядом місячного випуску продукції і так далі. Середня величина, обчислена по укрупнених інтервалах, дозволяє виявляти напрям і характер (прискорення або уповільнення зростання) основної тенденції розвитку.

Виявлення основної тенденції може здійснюватися також методом ковзної (рухомою) середньої. Суть його полягає в тому, що обчислюється середній рівень з певного числа, зазвичай непарного (3, 5, 7 і так далі), перших по рахунку рівнів ряду, потім - з такого ж числа рівнів,, але починаючи з другого по рахунку, далі - починаючи з третього і так далі, таким чином, середня як би "ковзає" по ряду динаміки, пересуваючись на один термін. Недоліком згладжування ряду є “укорочення” згладженого ряду в порівнянні з фактичним, а отже, втрата інформації.

Розглянуті прийоми згладжування динамічних рядів (укрупнення інтервалів і метод ковзної середньої) дають можливість визначити лише загальну тенденцію розвитку явища, більш менш звільнену від випадкових і хвилеподібних коливань. Проте отримати узагальнену статистичну модель тренда за допомогою цих методів не можна.

Для того, щоб дати кількісну модель, що виражає основну тенденцію зміни рівнів динамічного ряду в часі, використовується аналітичне вирівнювання ряду динаміки. Основним змістом методу аналітичного вирівнювання в рядах динаміки є те, що загальна тенденція розвитку розраховується як функція часу:

ŷ_t = f (t)

де ŷ_t — рівні динамічного ряду, обчислені по відповідному аналітичному рівнянню на момент часу. Визначення теоретичних (розрахункових) рівнів ŷ_t проводиться на основі так званої адекватної математичної моделі, яка найкращим чином відображає (апроксимує) основну тенденцію ряду динаміки.

Вибір типу моделі залежить від мети дослідження і поділ повинен бути заснований на теоретичному аналізі, що виявляє характер розвитку явища, а також на графічному зображенні ряду динаміки (лінійній діаграмі).

Наприклад, простими моделями (формулами), що виражають тенденцію розвитку, є:

лінійна функція - пряма ŷ_t = а₀ + a₁t,

де a_о + a₁ – параметри рівняння; t – час;

степенева функція - крива другого порядку (парабола)

ŷ_t = а₀ + a_1*t + a₂*t².

У тих випадках, коли потрібне особливо точне вивчення тенденції розвитку (наприклад, моделі тренда для прогнозування), при виборі виду адекватної функції можна використовувати спеціальні критерії математичної статистики.

Розрахунок параметрів функції зазвичай проводиться методом найменших квадратів, в якому як рішення приймається точка мінімуму суми квадратів відхилень між теоретичними і емпіричними рівнями:

Σ(ŷ_t – y_i)² →min

де y_t - розрахункові (що вирівнюються) рівні;

y_i - фактичні рівні.

Параметри рівняння а, що задовольняють цій умові. можуть бути знайдені вирішенням системи нормальних рівнянь. На основі знайденого рівняння тренда обчислюються рівні, що вирівнюються. Таким чином, вирівнювання ряду динаміки полягає в заміні фактичних рівнів рівнями, що плавно змінюються у_t, що найкращим чином апроксимують статистичні дані.

Вирівнювання по прямій використовується, як правило, в тих випадках, коли абсолютні прирости практично постійні, тобто коли рівні змінюються в арифметичній прогресії або близькі до неї.

Вирівнювання по показовій функції використовується в тих випадках, коли ряд відображає розвиток в геометричній прогресії, тобто коли ланцюгові коефіцієнти зростання практично постійні.

Розглянемо вирівнювання ряду динаміки по лінійній функції:

ŷ_t = а₀ + a₁t.

Параметри . а₀, a₁ згідно методу найменших квадратів, знаходяться розв?язанням наступної системи нормальних рівнянь, отриманої шляхом перетворення алгебри умови

Σ(ŷ_t – y_i)² →min :

а₀ n + a₁ Σt = Σy

а₀ Σt + a₁ Σt² = Σyt,

де у - фактичні (емпіричні) рівні ряду; t - час (порядковий номер періоду або моменту часу).

Розрахунок параметрів значно спрощується, якщо за початок відліку часу (t = 0) прийняти центральний момент ( інтервал).

При парному числі рівнів (наприклад, 6), значення t -умовного позначення часу будуть такими:

2006 2007 2008 2009 2010 2011

- 5 -3 -1 +1 +3 +5

При непарному числі рівнів (наприклад, 5) значення встановлюються по-іншому:

2005 2006 2007 2008 2009

-2 -1 0 +1 +2

У обох випадках Σt = 0, тому система нормальних рівнянь приймає вигляд:

Σy = n* а_0;

Σyt = а_1* Σt²

Σy

З першого рівняння а₀ = n

Σyt

З другого рівняння: a₁ = Σt²

При порівнянні квартальних і місячних даних багато соціально - економічних явищ часто виявляються періодичні коливання, що виникають під впливом зміни пір року. Вони є результатом впливу загальних економічних чинників, природно-кліматичних умов, а також численних і різноманітних чинників, які часто є регульованими.

У широкому розумінні до сезонних відносять всі явища, які виявляють в своєму розвитку виразно виражену закономірність внутрішньорічних змін, тобто більш менш коливання рівнів, що стійко повторюються з року в рік.

У статистиці періодичні коливання, які мають певний і постійний період, рівний річному проміжку, носять назву “Сезонні коливання” або “сезонні хвилі’», а динамічний ряд в цьому випадку називають сезонним рядом динаміки. Сезонні коливання спостерігаються в різних галузях економіки: при виробництві більшості продуктів, їх переробці, в будівництві, транспорті, і так далі Сезонні коливання зазвичай негативно впливають на результати виробничої діяльності, викликаючи порушення ритмічності виробництва. Тому господарські організації приймають заходи для пом'якшення сезонності за рахунок раціонального поєднання галузей, механізації трудомістких процесів і таке інше.

Комплексне регулювання сезонних змін по окремих галузях економіки повинне грунтуватися на дослідженні сезонних коливань. У статистиці існує ряд методів вивчення і вимірювання сезонних коливань. Один з них полягає в побудові спеціальних показників, які називаються індексами сезонності Is. Сукупність цих показників відображає сезонну хвилю. Індексами сезонності є процентні відношення фактичних (емпіричних) внутрішньогрупових рівнів до теоретичних (розрахунковим) рівнів, які виступають за базу порівняння.

Для того, щоб виявити стійку сезонну хвилю, на якій не відбивалися б випадкові умови одного року, індекси сезонності обчислюють по даним за декілька років (не менше три), розподіленим по місяцях.

Якщо ряд динаміки не містить яскраво вираженої тенденції в розвитку, то індекси сезонності обчислюються безпосередньо за емпіричними даними без їх попереднього вирівнювання.

Для кожного місяця розраховується середня величина рівня, наприклад за три роки (уt), потім обчислюється середньомісячний рівень для всього ряду у. Після чого визначається показник сезонної хвилі - індекс сезонності Is як процентне відношення середніх для кожного місяця до загального середньомісячного рівня ряду %:

у_t*100

Is = у

де y_t - середня для кожного місяця мінімум за три роки;

y - середньомісячний рівень для всього ряду.