3. Обобщенная электрическая машина

Электродвигатель может быть представлен в виде электромеханического многополюсника (рис. 3.1):

Рис. 3.1. Электромеханический многополюсник

Электромеханический преобразователь имеет n-пар электрических выводов, соответствующих n-обмоткам двигателя, и одну пару механических выводов, на которых в результате электромеханического преобразования энергии при скорости ω развивается электромагнитный момент двигателя М.

Как правило, двигатели являются многофазными электрическими машинами. С увеличением числа фаз возрастает число уравнений, описывающих электромагнитные и электромеханические процессы. В теории электрических машин доказано, что любая многофазная машина с n-фазной обмоткой статора и m-фазной обмоткой ротора может быть представлена двухфазной моделью. Поэтому математическое описание процессов во вращающейся электрической машине получают на основе рассмотрения её двухфазной модели, которая получила название обобщенной электрической машины (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Схема обобщенной электрической машины

Уравнения Кирхгофа, выраженные через потокосцепление Ψ, имеют вид:

(3.1)

где R₁ и R₂ – активное сопротивление фазы статора и приведённое сопротивление фазы ротора.

3.1. Линейные преобразования обобщенной машины

Произведём линейные преобразования уравнений обобщённой электрической машины для устранения зависимости индуктивностей и взаимных индуктивностей обмоток двигателя от угла поворота ротора, возможности оперировать не синусоидально изменяющимися переменными, а их амплитудами. При этом осуществляется замена действительных переменных новыми переменными при условии сохранения адекватности математического описания исследуемой машины. Этим условием является требование инвариантности мощности при преобразовании уравнений.

Рассмотрим преобразования, которые позволяют перейти от действительных переменных, определяемых системой координат, жёстко связанных со статором (α, β) и ротором (d, q), к расчётным переменным, соответствующим системе координат u, v, вращающихся в пространстве с произвольной скоростью ω_k .

В общем виде каждую реальную переменную – напряжение, ток, потокосцепление изобразим в виде вектора , направление которого жёстко связано с соответствующей данной обмотке системой координат, а модуль вектора изменяется в соответствии с изменениями изображаемой переменной.

Графические построения, соответствующие статору и ротору изобразим отдельно, причём (рис. 3.3).

а        б

Рис. 3.3. К преобразованию переменных статорной обмотки в системах координат (α, β) и (u, v) (a) и роторной обмотки в системах координат (d, q)

и (u, v) (б)

Составляющие вектора определены как проекции векторов и на ось α, составляющие вектора определены как проекции векторов и на ось β; составляющие вектора – как проекции векторов и на ось d, составляющие вектора – как проекции векторов и на ось q.

Просуммировав проекции по осям, получим формулы обратного преобразования координат обобщённой машины, т.е. формулы перехода от расчётных к реальным переменным:

(3.2)

где   α, β - оси, жёстко связанные со статором;

d, q - оси, жёстко связанные с ротором;

u, v – произвольная система ортогональных координат, вращающихся относительно статора со скоростью ω_k, а φ_эл = p_nφ; φ_k = ω_kt,

φ_эл и φ – соответственно электрический и геометрический углы поворота ротора относительно статора; p_n – число пар полюсов.

Аналогично выводятся формулы прямого преобразования:

(3.3)

Подставив (3.2) в первые два уравнения (3.1), получим:

Умножив первое уравнение на cosφ_k , а второе на sinφ_k, сложив их, и учитывая, что

получим    (3.4)

В результате таких же преобразований для роторных цепей обобщенной машины получим:

      (3.5)

где

Уравнение электромагнитного момента для неявнополюсной машины выводится аналогично изложенному выше:

(3.6)

Воспользовавшись формулами обратного преобразования, получим

где   L₁₂ – взаимная индуктивность между обмотками статора и ротора.