4.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1) Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что Найти вектор если = ,

Задача 2) Найти координаты вектора где А(0, 0, 1), В(3, 2, 1), С(4, 6, 5), D(1, 6, 3).

Задача 3) Даны радиусы-векторы вершин треугольника АВС: Показать, что треугольник АBC – равносторонний.

Задача 4) Вычислить длину вектора (1, 2, 1) и найти его направляющие косинусы.

Задача 5) Даны точки А(1, 2, 3) и В(3, -4, 6). Найти длину и направление вектора .

5. Скалярное произведение векторов

5.1. Определение скалярного произведения и его свойства

Пусть даны два вектора и .Тогда их скалярное произведение определяется из равенства , где  – угол между этими векторами.

Если векторы заданы в координатной форме , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

а) ;

б) если  (ортогональные вектора), то = 0;

в) ;

г) ;

д) , где λ – любое число.

Примеры.

а) Найти скалярное произведение векторов = (2, 1, 1) и = (2, -5, 1).

Из определения имеем = .

б) Даны вектор = (m, 3, 4) и вектор = (4, m, -7). При каких значениях m вектор ортогонален вектору ?

Из условий ортогональности имеем: = 4m + 3m -28 = 0,

7m = 28, m = 4.

в) Найти , если и  .

Из свойств скалярного произведения имеем: ,

так как  , тогда

г) Определить угол между векторами = (1, 2, 3) и = (0, 4, -2).

Так как , то . Из координатного представления векторов находим 0+8-6=2, по формуле (4.1) имеем тогда

5.2. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1) Даны векторы = (3, -2, -4), = (6, -2, 3). Найти ( )( ).

Задача 2) Вычислить работу силы = (1, 2, 1) при перемещении материальной точки из положения М₁(-1, 2, 0) в положение М₂(2, 1, 3). Напомним, что работа вектора силы равна скалярному произведению вектора на вектор перемещения _.

Задача 3) Найти координаты вектора , если он коллинеарен вектору

= (2, 1, 0) и его скалярное произведение на вектор равно 3, т.е.

6. Векторное произведение

6.1. Определение векторного произведения

Если вектора и заданы в координатной форме то их векторное произведение определяется по формуле:

,

где – орты осей координат Ox, Oy, Oz, соответственно:

Пример. Найдем векторное произведение векторов .

Из приведенной формулы имеем

6.2. Свойства векторного произведения

Отметим следующие свойства векторного произведения:

а) ;

б) , т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах;

в) ;

г) , если либо = , либо = , либо вектора и коллинеарны;

д) , где λ – любое число;

е) .

Приведенные свойства позволяют решать многие задачи геометрии и векторного анализа.

Примеры.

а) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах

= (3, 6, -2) и = (-2, 3, 6).

Имеем

Тогда

б) Вычислим площадь треугольника с вершинами А(1, 1, 1), В(2, 3, 4), С(4, 3, 2).

На сторонах АВ и АС достроим треугольник до параллелограмма АВСD. Тогда Так как то

Следовательно, , а

в) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах + 3 и 3 + , если а угол между векторами и равен /6.

Заметим, что для любого вектора. Следовательно,

Итак, искомая площадь параллелограмма S=4.

г) Известно, что вектор ортогонален векторам = (3, 2, 1) и = (2, 3, 1), а | | = 3. Найти вектор .

Так как вектор ортогонален векторам и, то он коллинеарен вектору . Имеем

Таким образом, Следовательно, , Итак, имеем два вектора, удовлетворяющих условиям задачи: