12.2. Правило Лопиталя
Правило
Лопиталя является одним из способов
раскрытия неопределенностей
и
,
возникающих при вычислении пределов и
основано на следующей теореме.
Теорема.
Пусть функции
и
дифференцируемы в некоторой окрестности
точки
,
кроме, может быть, самой точки
,
и пусть
в
.
Если функции
и
являются одновременно бесконечно
малыми, либо бесконечно большими при
и при этом существует предел отношения
их производных, то также существует
предел отношения
самих функций, причем
.
Примеры.
а) Найти предел
б) Найти предел
В некоторых случаях раскрытие неопределенностей или может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.
Пример.
Найти предел
С
помощью правила Лопиталя можно раскрывать
неопределенности типа
и
.
Например, для вычисления
где
а
(раскрытие неопределенности типа
),
следует преобразовать произведение к
виду
(неопределенность типа
)
или к виду
(неопределенность типа
)
и далее использовать правило
Лопиталя.
Пример.
Найти предел
Для
раскрытия неопределенностей типа
нужно записать
и найти предел
,
раскрыв неопределенность типа
.
Пример.
Найти предел
Вычислим
предел
Следовательно,
12.3. Геометрические приложения производной
Прямая,
задаваемая уравнением
называется касательной
к графику функции
в точке
где
Геометрический
смысл производной состоит в том, что
значение производной 
функции
в точке
равно угловому коэффициенту
касательной к графику этой функции,
проведенной через точку
П
рямая,
проходящая через точку касания
перпендикулярно к касательной, называется
нормалью к
графику функции
в этой точке. Уравнение нормали можно
записать в таком виде
На
рис. 5 изображены касательная
и нормаль
к графику функции
в точке
.
Пример.
Написать
уравнение касательной и нормали к
графику функции
в точке
Решение.
Значение
функции в точке
равно
значение производной
в точке
равно
Поэтому уравнение касательной
а уравнение нормали
После небольших преобразований запишем
уравнение касательной в виде
а уравнение нормали в виде
13. Исследование функций и построение графиков
13.1. Возрастание и убывание функций. Экстремум
Функция
называется возрастающей
(убывающей)
на интервале
если из неравенства
где
следует неравенство
(соответственно
).
Если
функция
дифференцируема на
интервале
и
при всех
то функция
возрастает на
;
если же
при всех
то функция
убывает на
.
В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками, в которых производная функции обращается в нуль или не существует.
Если
существует такой интервал
что для всякой точки
из этого интервала выполняется неравенство
(или
),
то точка
называется точкой
минимума
(максимума)
функции
,
а число
– минимумом (максимумом) этой функции.
Точки минимума и максимума функции
называются ее точками
экстремума.
Необходимое
условие экстремума функции. Если
– точка экстремума функции
то
или
не существует, т.е.
– критическая точка этой функции.
Достаточные условия экстремума непрерывной функции.
1) Если функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки за исключением, быть может, самой этой точки, и ее производная слева от этой точки положительная, а справа – отрицательная, то точка является точкой максимума; если производная слева от точки отрицательная, а справа – положительная, то точка является точкой минимума; если производная слева и справа от точки имеет одинаковый знак, то в этой точке функция экстремума не имеет.
2)
Если в критической точке
вторая производная отлична от нулю, то
в этой точке функция
имеет максимум при
и минимум при
Пример.
Найти
интервалы монотонности и точки экстремума
для функции
Решение.
Находим
производную
и приравниваем ее нулю. Решая получившееся
уравнение
получаем
Следовательно, критическими точками
(с учетом тех точек, где производная не
определена) являются:
Область определения
разбивается на два интервала монотонности:
и
Так как
при
и
при
то
убывает на интервале
и возрастает на интервале
а в точке
достигает минимума
