11.5. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва
Под
окрестностью точки
будем понимать
любой интервал, содержащий эту точку.
Функция
называется непрерывной
в точке
если она определена в некоторой ее
окрестности и
Если функция не определена в самой
точке
или не является непрерывной в точке
то эта точка является точкой
разрыва
функции
.
При этом различают три случая:
а)
существует, но не равен
или
не определено. В этом случае
называют точкой
устранимого разрыва
функции
.
б)
Существуют и конечны оба односторонних
предела
и
,
которые не равны друг другу. В этом
случае
называют точкой
разрыва 1-го рода
функции
а разность
называют скачком
функции в
этой точке.
в) Хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. В этом случае называют точкой разрыва 2-го рода функции .
Если
функции
и
непрерывны в точке
,
то в этой точке непрерывны также функции:
1)
,
где
и
любые действительные числа,
2)
,
3)
,
если
.
Примеры.
а)
Найти точки разрыва функции
и исследовать их характер.
Точка
является точкой разрыва функции
.
Поскольку существует
,
то точка
является точкой устранимого разрыва
функции
.
График функции
изображен на рис. 2. Если положить
то получим функцию, непрерывную на всей
числовой прямой.
б
)
Найти точки разрыва функции
и исследовать их характер.
Точка
является точкой разрыва функции
.
Для определения характера разрыва
найдем пределы слева и справа в этой
точке:
Следовательно, точка является точкой разрыва 1-го рода функции . График функции изображен на рис. 3.
в)
Найти точки разрыва функции
и исследовать их характер.
Точка
является точкой разрыва функции
.
Для определения характера разрыва
найдем пределы слева и справа в этой
точке:
Следовательно, точка является точкой разрыва 2-го рода функции . График функции изображен на рис. 4.
12. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
12.1. Производная функции. Основные определения и обозначения
Назовем
разность
– приращением
функции
в точке
соответствующим приращению
аргумента
Производной
функции
в точке
называется предел
Производная функции , рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией. Процесс нахождения производной называют также дифференцированием. Для нахождения производных нужно пользоваться таблицей производных основных элементарных функций и правилами дифференцирования функций.
Таблица производных основных элементарных функций.
Правила дифференцирования функций
1.
Пусть C-константа
и функции
имеют производную в точке
тогда:
; 
; 
;
;
.
2.
Пусть функция
имеет производную в точке
а функция
имеет производную в точке
Тогда сложная функция
в точке
имеет производную, равную
Второе свойство называется правилом дифференцирования сложной функции.
Пример.
Найти производную функции
Полагая
и
имеем
и
Отсюда, согласно правилу дифференцирования
сложной функции, получаем
Логарифмической
производной
функции
называется производная от логарифма
этой функции, т.е.
Применение предварительного
логарифмирования часто упрощает
вычисление производной.
Примеры.
а)
Найти производную функции
Логарифмируя,
получим
Отсюда находим производные левой и
правой части
Следовательно,
б)
Найти производную функции
Логарифмируя,
получим
Находя производные левой и правой части,
получаем
Следовательно,
Пусть
на интервале
заданы две функции
и
Если при этом
функция
на интервале
имеет обратную
то определена новая функция
называемая функцией,
заданной параметрически
соотношениями
Переменная
называется в этом случае параметром.
Производная функции, заданной
параметрически, находится по формуле
Пример.
Найти
если функция задана параметрически
Поскольку
то получаем
Функция
неявно задана на интервале
уравнением
если для всех
выполнено равенство
Для вычисления производной функции
нужно равенство
продифференцировать по
а затем полученное уравнение разрешить
относительно
Пример.
Найти
производную функции
заданной неявно
Дифференцируем
по
это равенство и получаем
Отсюда
Производной
2-го порядка
от функции
называется производная от ее первой
производной, т.е.
Для производной 2-го порядка используется
также обозначение
Пример.
Найти
если
Имеем
Следовательно,
Если
приращение функции
в точке
можно представить в виде
при
где
– некоторое число, то линейная часть
этого приращения
называется дифференциалом этой функции
в точке
соответствующим приращению
и обозначается символом
Для
того чтобы функция
была дифференцируемой в точке
необходимо и достаточно, чтобы существовала
производная
при этом справедливо равенство
Поэтому выражение для дифференциала
имеет вид
где принято обозначение
Пример.
Найти
дифференциал функции
Находим
производную этой функции
Следовательно,
