11.2. Неопределенности вида 0/0
а) Рациональные выражения. В случае неопределенности 0/0 для рациональных выражений всегда применяется прием сокращения множителя, обращающегося в ноль. Для этого предварительно выделяется линейный множитель, который обращается в ноль. Для выделения линейного множителя находят корни многочлена и разлагают его на множители.
Пример. Найти предел
Находим корни числителя х2 - х - 6: х1 = 3, х2 = -2. Разлагаем его на множители х2 - х - 6 = (х – 3)(х + 2). То же самое проделываем и для знаменателя: х1 = 3, х2 = -7/2, 2х2 + х - 21 = 2(х – 3)(х + 7/2) =
= (х – 3)(2х + 7). Подставим эти разложения в предел и сокращаем множители, обращающиеся в ноль:
б)
Иррациональные выражения.
Пределы вычисляются также сокращением
множителя, обращающегося в предельной
точке в ноль. Правда предварительно для
этого иррациональное выражение домножают
и делят на сопряженное выражение, т.е.,
если выражение имеет вид (a
b),
то его домножают и делят на (a
b).
Пример. Найти предел
Домножим
числитель и знаменатель на выражение
,
одновременно разлагая знаменатель на
множители:
в) Выражения, содержащие тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Вычисление пределов в этом случае, как правило, проводится по следующим трем методикам:
1) использование первого замечательного предела
или эквивалентности:
sin (x) (x) при (x) 0 (x x0 );
2) использование формул тригонометрии;
3) применение замены для сведения к первому замечательному преде-лу.
Примеры.
а) Найти предел
Воспользуемся приведенными эквивалентностями:
sin 5x 5x, sin 2x 2x при x 0.
Тогда
б) Найти предел
По
формулам тригонометрии (
)
с учетом эквивалентности имеем
в) Найти предел
Для сведения к первому замечательному пределу сделаем две замены:
у = 1/х, z = arcsin y:
г) Найти предел
Сделаем замену переменной: у = х + 2. Тогда (с учетом периодичности тангенса и эквивалентности)
г) Выражения, содержащие логарифмические и показательные функции. Основными приемами вычисления пределов в этом случае являются:
использование эквивалентностей
ln (1 + (x)) (x), a(x) - 1 (x)ln a при (х) 0;
замена переменной для сведения к приведенным эквивалентностям.
Примеры.
а) Найти предел
б) Найти предел
=
11.3. Неопределенности вида /
В качестве примеров этой неопределенности рассмотрим рациональные функции, когда аргумент стремится к бесконечности. Вычисляются такие пределы вынесением в числителе и знаменателе наивысшей степени х и ее сокращением. При вычислении окончательного результата постоянно используется равенство С/ = 0 (C-константа).
Пример. Найти предел
Выносим наивысшую степень х в числителе и знаменателе:
11.4. Неопределенности вида - , 0, 00, 0, 1
Первые четыре неопределенности с помощью арифметических преобразований сводятся к рассмотренным ранее случаям. Для вычисления пределов с неопределенностью 1 можно использовать следующую формулу:
Примеры.
а) Найти предел
б) Найти предел
При вычислении подобных примеров наибольшую опасность представляет путаница, возникающая в связи с тем, что к определенным выражениям (типа (2/3) = 0) применяют формулу, как для неопределенности вида 1. Например
или
