9.4. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2, 0, -3) параллельно:
1) вектору =(2, -3, 5);
2) прямой (х - 1)/5 = (у + 2)/2 = (z + 1)/(-1);
3)
прямой
Задача 2) Задана плоскость x + y - z + 1 = 0 и прямая (x - 1)/0 = y/2 = (z + 1)/1.
Требуется:
1) вычислить угол между ними;
2) написать уравнение плоскости, проходящей через данную прямую перпендикулярно к данной плоскости.
Задача 3) Доказать, что прямые
параллельны, и найти расстояние между ними.
Задача 4) Найти проекцию точки С(3, -4, -2) на плоскость, проходящую через параллельные прямые
10. Кривые второго порядка на плоскости
Кривая
второго порядка
на плоскости – это линия, определяемая
уравнением 2-й степени от переменных
и
Мы рассмотрим три основные линии второго
порядка.
Эллипс – множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная (равная 2а).
Если
фокусы располагаются в точках
и
,
то эллипс имеет каноническое уравнение:
где
Величина
называется эксцентриситетом
эллипса, а прямые
– его директрисами.
Гипербола – множество точек, таких, что модуль разности расстояния каждой из которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина 2а. Если фокусы располагаются в точках и , то каноническое уравнение гиперболы:
где
Величина
называется эксцентриситетом гиперболы,
а прямые
– её асимптотами.
Парабола
– это множество точек, равноудалённых
от данной точки (фокуса
)
и от данной прямой – директрисы. Её
каноническое уравнение имеет вид:
Уравнение
директрисы параболы имеет вид:
.
Примеры.
а) Написать каноническое
уравнение эллипса, если
и расстояние между директрисами равно
.
Решение.
Расстояние
между директрисами эллипса равно
Отсюда
следовательно,
В итоге, каноническое уравнение эллипса
имеет вид
б) Написать каноническое
уравнение гиперболы, если
,
Решение.
Эксцентриситет
гиперболы равен
Следовательно,
Поэтому каноническое уравнение гиперболы
имеет вид
в) Написать уравнение
параболы с вершиной в начале координат,
если фокус параболы находится в точке
.
Решение.
Фокус
параболы находится в точке с координатами
поэтому
и уравнение параболы имеет вид
11. Введение в анализ
11.1. Предел функции. Основные определения и обозначения
Определение
конечного предела функции в точке:
число
называется
пределом
функции
при
если для любого
найдется
такое, что
при
Обозначение:
или
при
Говорят,
что число
является пределом функции
при
и пишут
если для любого
найдется число
такое, что
как только
Наряду
с введенным выше понятием предела
функции используется также следующее
понятие одностороннего
предела.
Число
называют пределом
функции
в точке
справа (слева)
и пишут
если для любого
найдется
такое, что
при
Аналогично вводится понятие одностороннего
предела на бесконечности
и
Отметим,
что
тогда и только тогда, когда
Функция
называется бесконечно
малой (бесконечно большой)
при
если
Две
бесконечно малые (бесконечно большие)
функции
и
при
называются эквивалентными,
если
Обозначение:
при
Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной функцией, т.е.
(11.1)
если
Отметим, что (С – константа)
Наиболее
простым способом вычисления пределов
является
непосредственная подстановка вместо
х
числа а.
При этом может получиться какое-либо
число, которое и является пределом.
Например
.
Второй
также несложный случай возникает, если
при такой непосредственной подстановке
одна из составляющих имеет предел равный
,
и получаются следующие варианты (и их
решение): С/
= 0, С/0
= ,
/0
= ,
,
.
Например
.
В
остальных случаях возникают так
называемые неопределенности. По поведению
функций пределы делятся на неопределенности
вида:
,
Элементарными приемами раскрытия
неопределенностей являются:
а) сокращение на множитель, создающий неопределенность;
б)
деление числителя и знаменателя на
старшую степень аргумента (для отношения
многочленов при
);
в) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;
г) использование двух замечательных пределов:
(11.2)
Второй из этих пределов можно также записать в виде
