Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ПРАКТИКУМ

Уфа 2013

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ПРАКТИКУМ

Допущено Редакционно-издательским советом УГАТУ

в качестве практикума для студентов технических специальностей

заочной формы обучения, изучающих дисциплину “Математика”.

Уфа 2013

Авторы: В. В. Водопьянов, С. Е. Сысоев, Т. Т. Кузбеков, С. В. Хасанов

УДК 51(07)

ББК 22.1я7

В62

Рецензенты:

в.н.с. Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН, д-р физ.-мат. наук Мукминов Ф. Х.;

зав. кафедрой программирования и вычислительной математики БГПУ им. М. Акмуллы, д-р физ.-мат. наук, проф. Асадуллин Р. М.

Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия,

В62 дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных: Практикум / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. – Уфа: УГАТУ, 2013. – 102 с.

Isbn 978–5–4221–0442-0

Практикум охватывает все разделы дисциплины “Математика”, изучаемые в первом семестре на технических специальностях заочной формы обучения. Содержит необходимые теоретические сведения о методах, применяемых при выполнении контрольных работ, примеры решения типовых задач, рекомендации по выполнению расчетно-графической работы по дисциплине “Математика”.

Практикум предназначен для студентов технических специальностей заочной формы обучения, изучающих дисциплину “Математика”.

Табл. 2. Ил. 9. Библиогр.: 3 назв.

Научный редактор: д-р физ.-мат. наук, профессор Булгакова Г. Т.

УДК 51(07)

ББК 22.1я7

Isbn 978–5–4221–0442-0  Уфимский государственный

авиационный технический университет, 2013

Оглавление

Введение …………………………………………………………..................... 5

1. Вычисление определителей ……………………………………….............. 6

1. Определители второго порядка ………………………………….......... 6

2. Определители третьего порядка …………………………………......... 6

3. Задачи для самостоятельного решения……………………………....... 7

4. Определители произвольного порядка ………………………….......... 7

5. Задачи для самостоятельного решения ….…......………………........ 10

2. Матрицы и операции над ними ….……………………………….............. 11

   1. Понятие матрицы ...………....….......……..……………………........11

   2. Умножение матрицы на число .............................................................. 11

   3. Сложение матриц ................................................................................... 11

   4. Умножение матриц ................................................................................ 12

   5. Задачи для самостоятельного решения ……….…………………....... 13

   6. Обратная матрица ................................................................................... 13

   7. Задачи для самостоятельного решения ….………………………....... 15

3. Решение систем уравнений ......................................................................... 16

   1. Линейные системы уравнений .............................................................. 16

   2. Решение системы уравнений ................................................................. 18

   3. Задачи для самостоятельного решения …………………………........ 19

4. Векторы, простейшие действия над ними .................................................. 20

   1. Основные понятия .................................................................................. 20

   2. Операции над векторами ........................................................................ 20

   3. Задачи для самостоятельного решения ................................................. 21

5. Скалярное произведение векторов .............................................................. 22

   1. Определение скалярного произведения и его свойства ...................... 22

   2. Задачи для самостоятельного решения ................................................. 23

6. Векторное произведение .............................................................................. 24

   1. Определение векторного произведения ............................................... 24

   2. Свойства векторного произведения ...................................................... 24

   3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..….......... 26

7. Смешанное произведение векторов ............................................................ 27

   1. Определение смешанного произведения и его свойства .................... 27

   2. Задачи для самостоятельного решения …………………………......... 29

8. Прямая на плоскости ..................................................................................... 30

   1. Различные виды уравнений прямой на плоскости ...............................30

   2. Задачи для самостоятельного решения ……….……………..………. 32

   3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой …. 32

   4. Геометрические задачи с использованием различных уравнений прямой ............................................................................................................ 33

   5. Задачи для самостоятельного решения …………..…………………. 34

9. Прямая и плоскость в пространстве ............................................................ 35

   1. Плоскость в пространстве ..................................................................... 35

   2. Задачи для самостоятельного решения ……..……..…………………. 37

   3. Прямая и плоскость ................................................................................. 38

   4. Задачи для самостоятельного решения …….………………………… 40

10. Кривые второго порядка на плоскости ....................................................... 42

11. Введение в анализ ......................................................................................... 44

    1. Предел функции. Основные определения и обозначения ................. 44

    2. Неопределенности вида 0/0 .................................................................. 46

    3. Неопределенности вида / ................................................................ 49

    4. Неопределенности вида  - , 0, 0⁰, ⁰, 1^ ............................... 49

    5. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва ... 50

12. Дифференциальное исчисление функций одной переменной .................. 53

    1. Производная функции. Основные определения и обозначения ....... 53

    2. Правило Лопиталя ................................................................................. 56

    3. Геометрические приложения производной ........................................ 58

13. Исследование функций и построение графиков ........................................ 59

    1. Возрастание и убывание функций. Экстремум .................................. 59

    2. Направление выпуклости и точки перегиба ....................................... 60

    3. Асимптоты ............................................................................................. 61

    4. Построение графиков функций ........................................................... 62

14. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных ........ 69

    1. Предел и непрерывность функции нескольких переменных ........... 69

    2. Частные производные .......................................................................... 69

    3. Дифференциал ...................................................................................... 70

    4. Экстремумы функций нескольких переменных ................................ 71

    5. Задачи для самостоятельного решения ………………….…………. 72

15. Домашнее задание ........................................................................................ 73

    1. Основные правила и требования ........................................................ 73

    2. Варианты задания ................................................................................ 73

Список литературы ........................................................................................... 102

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов технических специальностей заочной формы обучения, выполняющих расчетно-графическую работу по линейной алгебре, аналитической геометрии, дифференциальному исчислению функций одной и многих переменных. Приведенные краткие теоретические сведения, типовые задачи и примеры по каждому разделу позволяют успешно справиться с аналогичными заданиями самостоятельно и способствуют формированию предметного представления о соотношении теоретических и практических результатов.