Дәрістік кешен (дәріс тезистері, иллюстрациялық және таратқыш материалдар, ұсынылған әдебиеттер тізімі)

1-дәріс. Жиындар. Нақты сандар жиыны. Санды жиындар. Нақты сандардың шекаралық мәндері. Нақты санның модулі.

Математиканың негізгі ұғымдарының бірі-жиын ұғымы, оған математикалық анықтама беруге болмайды.

Жиын деп белгілі бір белгілеріне қарай ережемен (заңмен) біріктірілген түрлі заттардың тобын түсіну керек. Жиынды құратын заттарды оның элемменттері деп атайды.

Жиындарды әдетте латын алфавитінің бас әріптерімен A,B,C,X,Y....., ал олардың элементтерін кіші әріптермен a,b,c,x,y...., белгілейді.

Рационал сан деп екі бұтін санның қатынасы , (n # 0) түрінде өрнектелетін санды айтады. Рационал сандар жиынын Q белгілейді.

Рационал санды шекті ондық бөлшек түрінде жазуға болатыны мектептен белгілі.

Кез келген периодсыз шексіз бөлшекті иррационал сан деп атайды. Иррационал сандар жиынын J деп белгілейді.

Барлық рационал және иррационал сандар жиынын нақты сандар жиыны деп атап R деп белгілейді.

нақты сандар жиынын элемменттерімен толықтырып, оны кеңейтілген нақты сандар жиыны деп атайды да былай белгілейді.

Нақты сандардың жиыны берілсін.

1- анықтама. Нақты сандар жиыны Е жоғарғы (төменгі) жағынан шектелген деп аталады, егер элементі үшін x теңсіздігін қанағаттандыратын саны (m саны) табылса. Онда Е-ні жоғарғы (төменгі) жағынан шектелген деп айтады.

М санын ( санын) Е жиынының жоғары(төменгі) шекарасы дейді.

2- анықтама. Жоғары және төменгі жақтарынан шектелген жиынды шектелген жиын дейді.

3-анықтама. Егер Е жиыны ең болмағанда бір жағынан шектелмесе, онда Е жиынын шектелмеген дейді.

4- анықтама. Е жиынын барлық жоғары шекараларының ең кішісін осы жиынның дәл жоғарғы шекарасы немесе жоғары жағы деп атайды да оны sup E , беклгілейді.

5- анықтама. Е жиынының барлық төменгі шекараларының ең үлкенін осы жиынның дәл төменгі шекарасы немесе төменгі жағы деп атайды да оны inf E белгілейді.

Егер Е жиыны жоғары (төменгі) жағынан шектелмесе, онда sup E= жазады.

Вейерштрасс теоремасы, Кез келген бос емес жиын жоғарғы (төменгі) жағынан шектелсе, онда оның дәл жоғарғы (төменгі) шекарасы бар.

Анықтама. х нақты санының модулі немесе абсолюттік шамасы деп болғанда х санының өзін айтады, егер x< 0 болса –х санын айтады, оны белгілейді. Сонымен,

Модулдің қасиеттері:

1)

2) , онда және

3)

4)

5)

6)

Мысалдар:

1. Квадраты 3 –ке тең болатын рационал саннның болмайтынын дәлелде.

Шешуі: Қарсы жорып r² =3 болатын рационал r саны бар дейік. Онда

r = , n 0 және қысқармайтын бөлшек болсын. m² = 3n² , бұл m санының 3 –ке бөлінетінін көрсетеді. m =3m , десе 9m ² = 3n² 3m ²=n². m және n сандары 3-ке бөлінеді. Бұл бастапқы шартқа қайшы. Демек r²=3 болатын рационал сан бар деген жоруымыз дұрыс емес екен.

2. Теңсіздікті дәлелде .

Дәлелдеу. Абсолюттік шаманың қасиеті бойынша және .Екінші теңсіздікті -1 –ге көбейтеміз - .

Онда - немесе .

3. Теңдеуді шеш =x² -6.

Шешуі. Егер х 0 болса, х=x²-6 x² –x -6=0, x₁=3,x₂=-2.

x 0 болғандықтан x =3 аламыз. Ал x<0 болса, -x=x²-6 x² +x-6=0, x₁=-3, x₂=2, x<0 болғандықтан х=-3, Жауабы: 3 және -3.

2-дәріс. Сан тізбегі және оның шегі. Жинақталатын тізбектердің қасиеттері. Жинақты тізбектерге қолданылатын амалдар. Шексіз аз және шексіз үлкен тізбектер.

1- анықтама. Егер санға белгілі бір ереже (заң) бойынша нақты саны сәйкестендірілсе, онда сан тізбегі немесе жай тізбек берілген дейді.

Тізбекті

символдарының біреуімен белгілейді.

2- анықтама. Егер кез келген санына сәйкес N=N( ) саны табылып, үшін

теңсіздігі орындалса, а санын тізбегінің шегі деп атайды да оны былай жазады:

3- анықтама. Егер тізбек шегі саны тиянақты (шекті) сан болса, онда оны а санына жинақты дейді.

4- анықтама. Егер тізбектің шегі жоқ немесе болса, онда ол тізбекті жинақсыз дейді.

5- анықтама. Шегі нольге тең болатын тізбегін шексіз аз тізбек немесе қысқаша шексіз аз дейді:

Бұл анықтаманы былай да беруге болады.

6- анықтама. Егер санына сәйкес нөмірі табылып үшін теңсіздігі орындалса, тізбегін шексіз аз дейді.

Шексіз аз тізбек пен шегі бар тізбектің арасында тығыз байланыс бар. Егер тізбегі а санына жинақты болса, онда

,

мұндағы - шексіз аз.

7- анықтама. Егер санына сәйкес N нөмері табылып, барлық n>N мәндерінде теңсіздігі орындалса, онда тізбегін шексіз үлкен тізбек немесе қысқаша шексіз үлкен дейді оны немесе жазады.

1-теорема. Жинақты тізбектің тек бір ғана шегі бар.

2-теорема. Кез келген жинақты тізбек шектелген.

Ескерту. Кез келген шектелген тізбек жинақты деуге болмайды.

1-мысал. Мына сан тізбектерін қарастырамыз.

1) 1, …..,

2) -1, -

3) 0, 1, 0, 0, …;

4) x _n =(-1) ; -1, 1, -1, 1…;

5) x _n=1; 1; 1, 1, …;

Тізбектің жалпы мұшесі х_n n -ге тәуелді болғандықтан, сан тізбегін натурал сандар жиынында берілген функция ретінде қарастыруға болады;

Демек

2-мысал. тізбегінің шегі =0 болатынын дәлелде.

Кез келген >0 санын алып

теңсіздігі n – нің қандай мәндерінде орындалатынын анықтаймиыз. Сол мақсатпен

(1)

теңсіздігін n - ге қарай шешеміз:

Онда болғанда (1) орындалатынын көреміз.

3-мысал. тізбегінің шегі жоқ.

Шынында, бұл тізбек

-1, 1, -1, 1,… (2)

белгілі.

Кері жорып (2) тізбектің шегі а саны бар дейік.Онда (мысалы ) үшін N нөмері табылып орындалады.

х_n=1 болғандықтан және болады.

Олай болса

Бұл қайшылық (2) тізбек жинақты дегеніміздің дұрыс емес екенін көрсетеді.

3 –теорема. Егер {x_n}, {y_n} тізбектері жинақты және , болса, онда

1. {x_n y_n} тізбегі жинақты, lim(x_n y_n) = a b.

n

2. {x_n y_n} тізбегі жинақты, lim(x_n y_n) = a b.

n

3. { }, b 0 тізбегі жинақты, lim =

n

4 –теорема. {x_n}, {y_n}, {z_n} үш тізбек үшін x_n z_n y_n теңсіздігі орындалса және lim x_n= a, lim y_n= b болса, онда lim z_n= a

n n n

3-дәріс. Монотонды тізбек бар және оның шегі. е саны. Тартылатын кесінділер принципі. Коши теоремасы.

1- анықтама. тізбегін кемімейтін (өспейтін) деп атайды, егер

n=1,2… (1) теңсіздігі орындалса.

2-анықтама. тізбегін өспелі (кемімелі) тізбек дейді, егер

n=1;2… (2) теңсіздігі орындалса.

Тізбектердің осы түрлерін біріктіріп жалпы атпен монотонды тізбектер деп атайды.

Теорема. Егер өспелі (кемімелі) тізбек жоғарғы (төменгі)жағынан шектелсе, онда ол жинақты.

Бұл теореманы былай да келтіруге болады:

Егер кемімейтін(өспейтін) тізбек жоғарғы (төменгі) жағынан шектелсе, онда ол жинақты.

1- ескерту. Кемімейтін және жоғарғы жағынан шектелген тізбегінің барлық элементтері оның шегі санынан аспайды:

Дәл осылай өспейтін, төменгі жағынан шектелген тізбегінің мүшелері оның шегі болатын а санынан кем болмайды:

2- ескерту. Монотонды тізбектің шегі туралы теорема шектің бар болу фактысын тағайындайды, бірақ шекті анықтамайды.

Осы теореманы пайдаланып, тізбегінің жинақты екені дәлелденеді және

(3)

десек, онда (3¹)

көреміз.

Больцано- Вейерштрасс теоремасы. Кез келген шектелген тізбектен жинақты ішкі (бөлімше) тізбекті бөліп алуға болады.

3- анықтама. Бөлімше тізбектің шегін берілген тізбектің дербес шегі деп атайды.

4- анықтама. Егер кесінділердің шексіз тізбегі

;..., (4)

үшін мына шарттар орындалса:

1) (5)

2) кесіндісінің ұзындығы -да , нольге ұмтылса онда (4) тізбекті тартылатын кесінділер тізбегі деп атайды.

Теорема. Егер (4) тізбек тартылатын кесінділер тізбегі болса, онда осы кесінділердің бәрінде жатқан нүкте бар және ол жалғыз.

4- анықтама. Егер саны үшін N номері табылып шартын қанағаттандыратын барлық n, m номері үшін

теңсіздігі орындалса, онда тізбегін Коши шартын қанағаттандырады немесе фундаментальды тізбек деп атайды.

Теорема (Коши критериі). Тізбек жинақты болу үшін оның фундаментальды болуы қажетті және жеткілікті.

Мысалдар.

1.Айталық

Осы тізбекті жинақтылыққа зерттейік.

көреміз.

тізбегі өспелі. Екінші жағынан

. Сондықтан

.

Демек тізбегі жоғарғы жағынан 2 санымен шектелген және өспелі екен. Олай болса тізбегі жинақты.

Шектерді табыңдар:

2.

Алдымен

анықтаймыз. Енді мына шекті есептейміз.

Олай болса

3)

Жоғарғыдай онда

4) - анықталмағандық.

= .

5) =е .

6) е =е⁰=1.^.