Лабораториялық-тәжірибелік сабақтар бойынша әдістемелік нұсқаулар
Практикалық сабақ №1.
Тақырыбы: Нақты сандар жиыны және қасиеттері. Нақты сандардың шекаралық мәндері. Нақты санның модулі.
Мақсаты: Модуль анықтамасын пайдаланып теңдеулер мен теңсіздіктерді шешіңдер.
Тапсырмалары:
1.
2.
12.
;
3.
;
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
;
11.
12.
13.
24.
;
25.
26.
;
Практикалық сабақ №2.
Тақырыбы: Сан тізбегі және оның шегі. Шексіз аз және шексіз үлкен тізбектер.
Мақсаты: Шектерді табу:
1-есеп.
табу керек.
жағдайда
берілген бөлшектің алымы мен бөлімі
нольге ұмтылады (бұл анықталмағандықтың
түрі
деп аталады). Сондықтан бұл жерде
бөліндінің шегі жөніндегі теореманы
тікелей қолдануға болмайды. Берілген
бөлшекті қысқартуға болады:
Бұдан
кейін шек оңай табылады:
.
2-есеп.
табу керек.
жағдайда берілген бөлшектердің бөлімдері
нольге ұмтылады (бұл анықталмағандықтың
түрі «
»).
Анықталмағандықты ашу үшін жақшадағы
өрнекті тепе-тең түрлендірейік:
Бұдан
3-есеп.
табу
керек.
жағдайда берілген бөлшектің алымы мен
бөлімі нольге ұмтылады. Сондықтан бұл
жерде бөліндінің шегі жөніндегі теореманы
тікелей қолдану мүмкін емес. Сондай-ақ,
1 және 2 – мысалдардағыдай, берілген
бөлшекті қысқартуға да болмайды. Берілген
жағдайда бөлшектің алымы мен бөлімін
оның бөліміне түйіндес
өрнегін көбейткен дұрыс. Сонда былай
болады:
Осыдан
кейін берілген шек оңай табылады:
Бұл
жерде біз
функциясының үзіліссіздік қасиетін
пайдаландық
4-есеп.
табу керек.
жағдайда
бөлшектің алымы мен бөлімі шексіз үлкен
шамалар. Бұл анықталмағандықтың
түрі. Берілген жағдайда бөлшектің алымы
мен бөлімінің ең үлкен дәрежелерін
жақшаның алдына шығарамыз:
;
Бұдан кейін шек оңай табылады:
.
Тапсырмалары:
№177.
[1-
]
№178.
№179.
(-
)
№180.
№181.
№183.
№184.
№185.
№186.
№187.
№189.
№191
№192.
№193.
№195
№196.
№197
№199
№200.
Практикалық сабақ №3.
Тақырыбы: Монотонды тізбек және оның шегі . е саны
Мақсаты: Тізбектің шегін табу:
1есеп.
Табу керек:
Анықтамағандықтың
түрі 
Бөлшектің алымы мен бөлімінің ең үлкен дәр
ежелерін жақшаның алдына шығарамыз:
2
есеп.
3есеп.
Тапсырмалар:
№213.
№216.
№241.
№242.
№243.
№244.
№245.
№246.
№247.
№248.
№249.
№250.
№251.
№252.
Практикалық сабақ №4-5.
Тақырыбы: Функция шегі. Біржақты және тамаша шектер. Бірінші тамаша шек. Екінші тамаша шек
Мақсаты: Шек табу тәсілін игеру.
1-есеп.
(
)
табу керек.
Берілген бөлшектің алымы мен бөлімін -ге көбейтеміз, сонда былай болады:
.
2-есеп.
табу керек.
тепе-теңдігін
пайдалансақ, онда:
болады.
3-есеп.
табу керек.
түріндегі
анықталмағандықты ашу үшін 2-ші тамаша
шекті қолданамыз.
Жаңадан
айнымалы шама енгіземіз. Сонда
деген шарт орындалғанда,
болады және
.
Сондықтан
түріндегі анықталмағандықты ашудың бір тәсілін келтірейік. Келесі теңдік:
,
,
(9)
қолданып түріндегі анықталмағандықты жеңілдеу ашылатын анықталмағандыққа айналдыруға болады.
4-есеп.
табу
керек. Мұнда
,
және
.
.
теңдігін пайдалансақ, сонда былай болады:
.
Тапсырмалар:
№232.
№234.
№254.
№256.
№260.
,
(a>0).
Практикалық сабақ №6.
Тақырыбы: Функциялардың үзіліссіздігі. Үзіліс нүктелері және олардың түрлер
Мақсаты: Функциялардың үзіліссіздігін табу.
Есеп 1 Функцияны үзіліссіздікке зерттеу керек.
нүктесінде
функцияны зерттейміз
.
.
.
,
сондықтан
нүктесі бірінші текті үзіліс нүктесі
болады.
Функция
жиынында үзіліссіз.
Есеп 2 Функцияны үзіліссіздікке зерттеу керек.
нүктесінде функцияны зерттейміз.
.
.
Функцияның біржақты шектері шексіздікке тең, сондықтан - екінші текті үзіліс нүктесі болады. Берілген функция тақ болғандықтан
.
Сонымен екінші текті үзіліс нүктелері болады.
жиынында функция үзіліссіз.
Тапсырмалар: Үзіліс нүктелерін анықтаңдар:
1.
.
2.
.
3.
4.
.
5.
.
6.
Практикалық сабақ №7-8.
Тақырыбы: Туынды . Дифференциалдау ережелері. Күрделі функциясының туындысы.
Мақсаты: Күрделі функциялардың туындыларын табу.
Есеп
1. 
;
табу керек.
Функцияны мына түрге келтіріп аламыз:
Дифференциялдау
ережесін қолданып 
табамыз.
Есеп
2. 
;
формуласын қолданамыз.
;
Есеп
3. 
;
формуласын қолданамыз.
Есеп
4. 
;
.
Тапсырмалар:Функциялардың туындыларын табыңыздар:
№422.
y =-
.
№424. y =
.
№426.
y =
.
№428. y =
.
430. y =
+ln
x.
№432.
y =sin(x
)+tg
.
№435. y =
.
№436. y =actg
.
№437.
y =-
-
.
№439. y =arcsin
.
440. y =arccos
.
№442.
y =arctg
.
№522.
y =xsin(lnx -
).
№523. y =
№524.
y =
№525. y =
№526.
y =2
+(1-arccos3x)
№528. y =
№529.
y =arctglnx. №530. y =lnarcsinx +
.
№531.
y =arctgln
№532. y =
Практикалық сабақ №9-10.
Тақырыбы: Дифференциалдың геометриялық мағынасы. Функция дифференциялы. Дифференциалдың инварианттық қасиеті.
Мақсаты: Функцияларды дифференциалдау.
Тапсырмалар:
№ 722.
y=
№ 724. y=arcsin .
№ 725. y=arctg
№ 727. y=x lnx – x.
№ 728.
y=ln
.
Практикалық сабақ №11-12.
Тақырыбы: Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар.
Мақсаты: Функцияларды дифференциалдау.
Есеп.5.
;
Тапсырмалар:
№706.
№707. y=x+arctgy,
№748.
№749.
y=arccosx, d
№750. y=sinxlnx, d
№751.
z =
d
№752.
z =x
d
№753.
z =
,
d
№754.
z =3sin(2x+5), d
Практикалық сабақ №13-14.
Тақырыбы: Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар. Лопиталь ережесі. Тейлор формуласы . , sinx, ln(1+x), (1+x) функцияларды жіктеу.
Мақсаты: Оларды есептеу
Тапсырмалар:
№790.
n >0. №791.
.
№792.
,
n >0.
№793.
.
№794.
.
№795.
.
№796.
.
№797.
.
Практикалық сабақ №15.
Тақырыбы: Функцияларды туындыларды пайдаланып зерттеу Функцияның тұрақтылығы мен монотондылығы.
Мақсаты: Ойыс, дөңес аралықтарын анықтап, функцияларды толығымен зерттеп графигін тұрғызу. Функцияны туындының көмегімен толық зерттеп, графигін тұрғызу.
Тапсырмалар:
Функцияларды толық зерттеп графигін салыңыздар:
№916.
y=
№919. y=
.
№920.
y=
.
№920. y=
.
№921.
y=
.
№922. y=
.
№924.
y=x
.
№925. y=
.
№926.
y=
.
№927. y=
.
№928.
y=
.
№929. y=
.
№930.
y=
.
№931. y=
.
№932.
y=
.
№933. y=
.
Практикалық сабақ №16.
Тақырыбы: Бір айнымалыға тәуелді функциялардың интегралдық есептеуі. Интегралдау әдістері.
Мақсаты: Интегралдау әдістерін игеру.
Тапсырмалар:
Бөліктеп немесе айнымалыларды алмастыру әдістерімен есептеңіз:
№1204.
№1205.
№1206.
№1214.
.
№1215.
№1217.
№1218.
№1220.
№1221.
№1223.
№1224.
№1225.
№1237.
№1238.
Практикалық сабақ №17.
Тақырыбы: Айнымалыны алмастыру әдісі. Рационал , иррационалл және транценденттік функцияларды интегралдау.
Мақсаты: Рационал және иррационал функциялардың интегралын есептеу.
1-есеп.
бөлшекті элементар бөлшекке жіктеу
керек. Бөлшектің бөлімін келесі түрде
жазайық:
.
Онда ол бөлшек былай жіктеледі .
.
Мұндағы
коэффициенттерін табу үшін бұл теңдіктің
оң жағын бір бөлшекке келтіреміз
.
Бұл теңдіктен келесі тепе-теңдікті жазуға болады:
.
немесе
.
Бұдан
үш
белгісі бар үш теңдеулер жүйесін аламыз
да, оны шешіп
коэффициенттерін табамыз.
,
;
;
Бұл әдіс анықталмаған коэффициенттер әдісі деп аталынады.
Сонымен,
енді
берілген функциян
интегралдауға болады.
2- есеп.
жай
бөлшектерге жіктеу керек.
Теңдіктің оң жағын бір бөлшекке келтіріп, содан соң екі бөлшектің алымдарын теңестірейік:
Мұнда
деп алсақ
ны
табамыз:
,
.
Қалған
белгісіздерді табу үшін теңдіктің оң
және сол бөліктеріндегі
тің
бірдей дәрежелерінің коэффициенттерін
теңестіреміз:
,
,
,
,
.
Бұдан
,
,
,
,
табамыз. Олай болса,
.
3-есеп
.
ІІ.
Есептеу керек:
,
мұндағы
-тұрақты
сандар. Интеграл астындағы функция
квадрат иррационалдық
деп аталады.
Егер
квадрат үшмүшелігінің
-нақты
түбірлері болса, онда
және
аламыз, яғни І-түрдегі сызықты-бөлшек иррационалдыққа келеміз.
Енді,
деп алайық:
егер
болса, онда
интегралды Эйлер
ауыстыруы:
арқылы рационалдауға болады. Өйткені,
,
онда
рационал функция болады.
4-
есеп Есептеу керек:
.
биномының
нақты түбірлері жоқ. Сондықтан,
және
,
.
Осы өрнектерді берілген интегралға қойсақ
.
Тапсырмалар:
Интегралды есептеңіздер:
№1343.
№1344.
№1348.
№1350.
№1351.
№1367.
№1376.
№1379.
Практикалық сабақ №18.
Тақырыбы: Анықталған интеграл және оның қасиеттері. Интегралдау әдістері.
Мақсаты: Интегралдау әдістерін игеру.
1-есеп.
;
2-есеп.
;
3-есеп.
4-есеп.
Тапсырмалар:
Анықталған интегралдарды Ньютон – Лейбниц формуласымен есептеңіздер:
№ 1540.
№
1541.
№ 1542.
№
1543.
№ 1544.
№
1545.
№ 1546.
№
1547.
№ 1549.
№
1550.
Практикалық сабақ №19.
Тақырыбы: Анықталған интегралдың қолданылуы.
Мақсаты: Доғаның ұзындығын, жазық фигураның ауданын есептеу.
1-есеп.
,
қисығының ұзындығын табу керек.
.
2-есеп.
-винттік
сызықтың ұзындығын табу керек.
,
,
;
.
3-есеп
,
синусоида және
өсімен шенелген жазық фигура ауданын
табу керек (1-сурет).
1-сурет
үшін
,
ал
үшін
болатындықтан (2)- бойынша
аламыз.
Тапсырмалар:
1692.
осінің бойымен айналады.
1719.
астроиданың OX осінің бойымен айналғандағы
беттің ауданын табыңыздар.
1720.
қисығы OX осінің бойымен айналғандағы
беттің y=1 мен y=e бөлігінің арасындағы
беттің ауданын тап.
Практикалық сабақ №20
Тақырыбы: Меншіксіз интегралдар ұғымы
Мақсаты: Оларды есептеу.
Тапсырмалар:
1734. x=a(t-sint), y=a(1-cost) циклоиданың бірінші бөлігінің ауырлық центрінің координатасын тап.
1735.
эллипспен және OX, OY өстермен шектелген
бөлігінің ауырлық центрінің координаталарын
тап.
1741. Радиусы а болатын шеңбердің диаметріне қарай инерциялық моментін тап.
1742. Қабырғалары а және b болатын тіктөртбұрыштың қабырғаларына қарай инерциялық моментін тап.