10. Дәріс. Дифференциалдың геометриялық мағынасы. Функция дифференциялы. Дифференциалдың инварианттық қасиеті. Логарифмдік туынды.

Анықтама. Айталық функциясы нүктесінің аймағында анықталсын және оның нүктесіндегі өсімшесі

(1)

түрде өрнектелсе, мұндағы тен тәуелсіз, ал

онда функциясын нүктесінде дифференциалданады деп атайды,

ті функцияның нүктесіндегі дифференциалы деп атайды, оны немесе белгілейді.

Сонымен, (2)

функциясының нүктесіндегі өсімшесі мен дифференциалының арасында мынадай байланыс бар.

(3)

мұндағы

Теорема. функциясы нүктесінде дифференциалданатын болуы үшін осы нүктеде функцияның шектелген туындысының бар болуы қажетті және жеткілікті, сонымен бірге

(4)

Енді функциясын алып (4) формуладан Онда

, (5)

Функция өсімшесі белгілі. (3) формуладан қал -дырып дифференциалды аламыз немесе

(6)

Бұл формуланы тің аз мәнінде функция мәнін жуықтап есептеуге пайдаланады.

Егер функциясы нүктесінде, ал функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда күрделі функциясы нүктесінде

дифференциалданады және

Осы қасиетті дифференциал түрінің инварианттылығы деп атайды.

у=ln , ) - дифференциалданатын функцияны қарастырамыз.

Күрделі функцияның туындысы:

(7)

туындыны f(x) функциясының логарифмдік туындысы деп атайды. (7) формуланы қолданып y= (x), y= (x),( (x)>0) дәрежесі - көрсеткіштік функцияның туындысын анықтаймыз:

(8)

Мысалдар.

1. функциясының өсімшесі мен дифференциалын табыңдар.

Шешуі. Функция өсімшесі

Онда дифференциал болады

2. функциясының және болғандағы өсімшесі мен дифференциалын табыңдар.

Шешуі. Функция өсімшесі

Сонымен,

3. тың жуық мәнін табу керек.

Шешуі. онда

4. Айталық

(6) формула бойынша:

Егер десек, онда

5.Есептеңіз: десек,

12. Дәріс. Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар. Екінші ретті туындының механикалық мағынасы. Лейбниц формуласы.

Айталық функциясының интервалының барлық нүктелерінде шекті туындылары бар болсын.

Егер функциясы дифференциалданатын болса, онда оны функциясының нүктесіндегі екінші туындысы немесе екінші ретті туындысы деп атайды және былай белгілейді.

немесе

Сонымен, анықтама бойынша

(1)

Екінші ретті туындының физикалық мағынасы:

Сонымен, жолдан алынған екінші ретті туынды моментіндегі үдеу болады екен.

Егер функциясы параметрлік түрде берілсе, оның екінші ретті туындысы

. (2)

Екінші туындының туындысын үшінші туынды немесе үшінші ретті туынды деп атайды да оны немесе жазады.

Осы сияқты нүктесіндегі ші ретті туындысы деп ші ретті туындыдан алынған туындыны айтады.

Сонымен

Мысалдар:

1.

Дербес жағдайда, натурал сан болса, онда егер болса.

2. .

Дербес жағдайда,

.

3.

4.

5.

6.

7.

Лейбниц формуласы.

Теорема. Егер және функциялары нүктесінде ші туындылары бар болса, онда көбейтіндісінің де нүктесінде ш туындысы бар және ол былай анықталады:

(3)

Мұндағы .

(3) Лейбниц формуласы деп атайды, оны қысқаша жазсақ:

мұндағы

Анықтама. функциясының нүктесіндегі екінші ретті дифференциалы деп осы нүктедегі бірінші ретті дифференциалдан алынған дифференциалды айтады. Оны былай белгілейді:

немесе

Дәл осылай немесе .

Жалпы түрде функциясының ші ретті дифференциалы деп -ші ретті дифференциалдан алынған дифференциалды айтады да, оны

жазады.

Демек .

Мысалдар.

1. табыңдар.

Шешуі.

.

Сонымен бірге

.

(5) формуланы пайдаланамыз:

2. , табыңдар.

Шешуі.

Алдымен функциясын жай бөлшектерге жіктейміз

Онда

3. формула бойынша

.

Сонымен

3. функциясының 100-ші ретті туындысын табу керек:

Шешуі. Лебниц формуласын пайдаланамыз:

13-14-дәріс. Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар. Лопиталь ережесі. Тейлор формуласы . , sinx, ln(1+x), (1+x) функцияларды жіктеу.

Айталық функциясы нүктесінің аймағында анықталсын, оны белгілейтініміз белгілі және үшін

)

теңсіздігі орындалса, онда функциясының нүктесінде локальдық максимумы (минимумы) бар дейді.

Локальдық максимум мен локальдық минимумды біріктіріп жалпы локальдық экстремум деп атайды.

1-теорема (Ферма). Егер функциясының нүктесінде локальдық экстремумы бар және осы нүктеде дифференциалданатын болса, онда

2- теорема (Ролль). Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз кесіндінің ұштарындағы мәндері өз ара тең, демек және

интервалында дифференциалданатын болса, онда интервалында бір нүктесі табылып теңдігі орындалады.

3-теорема (Лагранж). Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз және

интервалында дифференциалданатын болса, онда табылып

теңдігі орындалады.

4-теорема (Коши). Егер және функциялары кесіндісінде үзіліссіз, интервалында дифференциалданса және нүктесінде

, онда интервалында бір нүктесі табылып

теңдігі орындалады.

Лопиталь ережесі.

Мына шекті есептегенде, және функциялары да бір мезгілде шексіз аз немесе шексіз үлкен болғанда және түріндегі

анықталмағандықтарды ашу үшін кейбір жағдайларда Лопиталь ережесі қолданылады.

1. түріндегі анықталмағандық.

1-теорема. Айталық және функциялары нүктесінің аймағында анықталсын және дифференциалданады,

болсын. Егер шек бар болса, онда шек те бар және теңдік орындалады.

2. түріндегі анықталмағандық.

2-теорема. Егер аралығында анықталған , функциялары үшін

,

болса және осы аралықта шекті бар және Сонымен бірге

шекті шек бар болса, онда шекте бар және ол

Сонымен .

3. Анықталмағандықтардың басқа түрллері:

0,

Бұл анықталмағандықтарды ашу үшін оларды түрлі алгебралық түрлендірулер көмегімен , түрінің біреуіне келтіреді да сонан соң Лопиталь ережесін пайдаланады.

Айталық функциясы нүктесінің қайсыбір аймағында рет үзіліссіз дифференциалданатын болсын, онда үшін.

(1)

теңдігі орындалады.

(1) формуланы қалдық мұшесі Пеано түріндегі Тейлор формуласы деп атайды.

Дербес жағдайда, болғанда

. (2)

(2) Маклорен формуласы деп атайды.

Егер нүктесінің аймағында функциясының -ші үзіліссіз туындылары бар болса, онда

(3)

(3) қалдық мүшесі Лагранж түріндегі Тейлор формуласы деп атайды.

Дербес жағдай болғанда Маклорен формуласы

(4)

Элементар функциялардың Маклорен формуласы бойынша жіктелуі:

1) .

2)

3)

4)

5)

6)

Мысалдар.

1. функциясы үшін Ролль теоремасының шарттары орындала ма? Егер орындалса нүктесі неге тең?

Шешуі. Берілген функция кесіндісінде үзіліссіз және интервалында

дифференциалданады. Енді алсақ

2. функциясына кесіндісінде Лагранж теоремасын қолдануға болама? Егер болса нүктесі неге тең?

Шешуі. Берілген функция кесіндісінде үзілліссіз, ал (0,3)аралығында дифференциалданады. Онда Лагранж теоремасын қолдануға болады:

Шектерді табыңдар.

3.

4. Алдымен деп алып логарифмдейміз.

Lny=xlnx

Сонымен

5. ,

6.

15-дәріс. Функцияларды туындыларды пайдаланып зерттеу. Функцияның тұрақтылығы мен монотондылығы Локальдық экстремум. Асимптоталар.

1- теорема. Егер функциясы аралығында дифференциалданып, нүктесінде болса, онда функциясы интервалында тұрақты болды.

2- теорема. интервалында дифференциалданатын функциясы осы интервалда өспелі (кемімелі) болуы үшін

теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.

Локальдық экстремум анықтамаларын (II.4 қара).

1- анықтама. Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз және не туындысы болмаса, онда нүктесін критикалық (стационар) нүкте деп атайды.

Айта кететін жағдай, кез келген критикалық нүкте экстремум нүктесі болмайды. Мысалы бірақ нүктесінде экстремумы жоқ.

3- теорема (экстремумның қажетті шарты)

Егер нүктесі функциясының экстремум нүктесі болса, онда осы нүктеде не нөлге тең, не болмайды.

4- теорема (экстремумның жеткілікті шарты).

Айталық функциясы нүктесінің қайсыбір аймағында дифференциалданады ( нүктесінің өзі оған кірмеуі де мүмкін) және нүктесінде үзіліссіз болсын.

Онда:

1). Егер функциясы нүктесі арқылы өткенде таңбасын плюстен минуске өзгертсе, демек

үшін

үшін

онда - нүктесі функциясының қатаң максимум нүктесі болады.

2). Егер функциясы нүктесі арқылы өткенде таңбасын минустен плюске өзгертсе, демек

үшін

үшін

онда - нүктесі функциясының қатаң минимум нүктесі болады.

3). егер мен аралықтарында таңбасы бірдей болса, онда нүктесінде экстремум жоқ.

Айталық функциясы аралығында анықталсын және

2-анықтама. Егер функция графигінен кез келген екі нүктесінің арасындағы доға оны керетін хордадан жоғары (төмен) жатса, онда функциясының аралығында дөңестігі жоғары

(төмен) бағытталған деп айтады немесе функциясын дөңес (ойыс) функция деп атайды.

5- теорема. Егер функциясының екінші ретті туындысы нүктесінде үзіліссіз және теріс (оң) болса, онда нүктесінің белгілі бір аймағы табылып осы аймақта функциясы дөңес (ойыс) болады.

3- анықтама. Егер нүктесі функциясының графигінің дөңес (ойыс) бөлігін графиктің ойыс (дөңес) бөлігінен бөліп тұрса, онда нүктесін қисықтың иілу нүктесі деп атайды.

6- теорема. Егер нүктесі функция графигінің иілу нүктесі болса және нүктесінде функциясы үзіліссіз екінші ретті туындысы

бар болса, онда

4- анықтама. Егер функциясы нүктесінің қайсы бір аймағында анықталып

немесе

шарттардың ең болмаса біреуі орындалса, онда түзуін функция графигінің вертикаль асимптотасы деп атайды.

5- анықтама. Егер функциясын мына түрде

мұндағы

, ,

өрнектеуге болса, онда түзуін функция графигінің көлбеу асимптотасы деп атайды.

Функция графигін салуды мына схемамен жүргізу ыңғайлы:

1.Функцияны периодтылыққа, жұп немесе тақтыққа, монотондылыққа, үзіліссіздікке зерттеп, үзіліс нүктелерін, анықталу облысын анықтау керек.

2. Асимптоталарын табу керек.

3. Функцияны экстремумға зерттеу керек.

4. Функцияның ойыс, дөңес аралықтарын анықтау керек.

5. Графиктің координаталар остерімен қиылысу нүктелерін табу керек.

6. Графикті салу.

Мысалдар.

1. функциясын монотондылыққа зертте:

Шешуі. Функцияның туындысын табамыз:

демек функция кемімейді.

2. функциясын экстремумға зерттеу керек.

Шешуі. Туындысын табыңыз:

Критикалық (стационар) нүктелерін анықтайық

стационар нүктелері.

нүктесінде экстремум жоқ, - max нүктесі, -min нүктесі:

3. функциясының иілу нүктелерін табу керек.

Шешуі. Туындыларын табамыз:

үзіліссіз екенін көреміз.

Демек және нүктелері графиктің иілу нүктелері болады.