6. Момент импульса системы материальных точек. Уравнение моментов

Векторным произведением двух векторов а и b называется вектор с, модуль которого с связан с модулями сомножителей а и b и углом между ними  соотношением:

c = abcos.

Рис. 6.1

Направление вектора с определяется следующим образом. Во–первых, с направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены а и b. Из двух возможных направлений выбирается то, куда перемещается буравчик (правый винт), вращающийся от направления первого сомножителя ко второму по кратчайшему направлению (рис. 6.1). Обозначается векторное произведение а и b как [а,b] или ab.

Из определения векторного произведения видно, что оно обладает следующими очевидными свойствами:

[а,b] = – [b,а],

[a,a] = 0.

Можно также доказать, что:

[а,b] = [а,b] = [а,b],

где  – скаляр, а также:

[а+b,c] =[а,c]+ [b,c].

Иногда полезно иметь в виду, что величина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, двумя смежными сторонами которого являются эти векторы. Или иначе: величина векторного произведения двух векторов равна удвоенной площади треугольника, двумя сторонами которого являются эти векторы.

1. Моментом импульса материальной точки относительно некоторой избранной точки (полюса – в терминологии теоретической механики) называется вектор:

L = [r,p],

где r – радиус-вектор материальной точки, начало которого совпадает с полюсом, а конец с материальной точкой, р – импульс материальной точки.

Рис. 6.2

Величину момента импульса часто удобно вычислять как произведение

L= mυ,

где  – прицельное расстояние (или плечо импульса), равное расстоянию между полюсом и прямой, вдоль которой направлен вектор скорости частицы (рис. 6.2).

2. Моментом силы относительно полюса называется вектор:

M = [r,F].

где F – сила, r – радиус-вектор, направленный от полюса к точке приложения силы.

Рис. 6.3

Точно так же, как и для момента импульса, величина момента силы может быть записана как произведение:

M = hF,

где h – плечо силы, т.е. расстояние между полюсом и линией действия силы (рис. 6.3).

3. Связь между L и M дается уравнением моментов:

,

где M – момент сил, приложенных к данной материальной точке. Существенно, что L и М вычисляются относительно одного и того же полюса.

4. Момент импульса аддитивен. Момент импульса системы материальных точек равен сумме моментов отдельных точек, составляющих систему. Все моменты должны определяться относительно одного полюса.

5. Производная по времени от момента импульса системы точек определяется уравнением моментов:

где М_внеш – сумма моментов внешних сил, действующих на точки системы. Из этого уравнения следует, что момент импульса замкнутой системы тел сохраняется. Данное утверждение носит название закона сохранения момента импульса.

6. Моментом импульса или моментом силы относительно оси называется проекция соответствующего момента на эту ось. При этом полюс обязательно должен лежать на оси.

7. Для момента импульса системы точек справедливо равенство

L = [R_ци,P] + L₀,

где L₀ – момент импульса системы точек относительно ее центра масс, R_ци – радиус-вектор центра инерции системы, Р – импульс системы. Это соотношение называют теоремой Кенига для момента импульса.

8. Момент системы сил, определяется как сумма моментов сил, приложенных к точкам системы. Как и момент каждой сил, составляющих систему сил, он зависит от выбора полюса, относительно которого вычисляются эти моменты:

M = [R,F] + M',

где M – момент системы сил относительно старого полюса О, M' – момент импульса системы точек относительно нового полюса О’, R – радиус-вектор направленный от старого полюса к новому, F – сумма сил, приложенных к точкам системы (рис. 6.4). Как видим, в случае F = 0, момент системы сил не зависит от выбора полюса. Таким свойством обладает в частности пара сил, т.е. система двух равных по величине и противоположных по направлению сил.

Рис. 6.4

Момент пары, как нетрудно убедиться, направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы, составляющие пару, в направлении, совпадающем с направлением перемещения буравчика (винта), вращаемого этой парой. Величина момента пары равна произведению величины сил, составляющих пару на расстояние между линиями действия этих сил. Это расстояние называется плечом пары сил или просто: плечом пары.

9. Если тело движется в центральном поле, то момент силы, действующей на тело в этом поле, относительно центра поля равен нулю. Поэтому момент импульса тела относительно центра поля постоянен.

Задача 6.1. Шайба движется по гладкой горизонтальной плоскости и испытывает в точке 0 упругий удар с гладкой неподвижной стенкой. Найти точки, относительно которых момент импульса шайбы остается постоянным в этом процессе. Угол между направлением скорости шайбы и нормалью к стенке равен .

Рис. 6.5

Решение. Движение шайбы представлено на рис. 6.5. Так как стенка гладкая, то F_тр= 0, а N – сила реакции при ударе направлена перпендикулярно стенке, ее момент равен нулю относительно любой точки, лежащей на прямой OO', перпендикулярной стенке.

Согласно уравнению моментов dL/dt = M. Так как относительно точек прямой ОО' момент силы реакции M= 0, то dL/dt = 0 и L = const. Итак, момент импульса шайбы сохраняется относительно любой точки, лежащей на прямой ОО'. Другие силы, действующие на шайбу, как нетрудно понять, не изменяют ее момента (разберитесь с этим сами).

Задача 6.2. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие одинаковые шайбы массы m каждая. Шайбы соединены друг с другом невесомой пружиной длины l₀ и жесткости k. В некоторый момент времени одной из шайб сообщили скорость v₀ в горизонтальном направлении, перпендикулярно пружине (Рис. 6.6). Найти максимальное относительное удлинение пружины в процессе движения, если известно, что оно значительно меньше единицы.

Решение. Поскольку шайбы движутся по гладкой горизонтальной плоскости, то сумма внешних сил – силы тяжести и силы реакции стола, действующих на каждую шайбу, равна нулю, поэтому такая система ведет себя как замкнутая, и в ней сохраняются импульс и момент импульса. Кроме того, в системе действуют лишь консервативные силы (силы упругости пружины), поэтому сохраняется ее энергия.

Рис. 6.6

Этих трёх законов сохранения достаточно, чтобы решить задачу. Удобнее всего делать это в системе отсчета, связанной с центром инерции. В этой системе отсчета сумма импульсов шайб равна нулю, откуда следует, что в любой момент времени скорости шайб равны по величине и направлены в противоположные стороны. Начальные скорости шайб относительно плоскости равны соответственно v₀ и нулю. Поэтому скорость центра инерции:

Скорости шайб по отношению к центру инерции равны, соответственно:

Причем скорости v₁ и v₂ направлены перпендикулярно пружине.

Так как в начальный момент времени пружина не деформирована, то энергия системы относительно ее центра инерции определяется в этот момент лишь кинетической энергией частиц:

Момент импульса L₁ системы шайб относительно центра инерции в этот же момент времени равен:

Когда пружина окажется максимально растянутой, скорости шайб опять будут направлены перпендикулярно пружине, иначе шайбы удалялись или приближались бы друг к другу, т.е. длина пружины либо увеличивалась, либо уменьшалась бы, но в любом случае не была бы в этот момент максимальной. Если обозначить величину скорости шайб в этот момент через υ', длину пружины в этот момент через l', то

В выражении для энергии второе слагаемое представляет собой потенциальную энергию растянутой на длину l' – l₀ пружины.

В силу законов сохранения энергии и момента импульса получаем

Выразив новую скорость шайб υ из второго из этих уравнений, и подставив её в первое уравнение, найдём

откуда приходим к уравнению

После сокращения обеих частей уравнения на l’– l₀ получим

а учитывая малую величину удлинения пружины (l'– l₀ << l₀), приходим к ответу:

Из полученного ответа видно, что удлинение пружины будет малым, если выполнено неравенство:

Рис. 6.6

Задача 6.3. По гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массой m, привязанное к невесомой нерастяжимой нити, другой конец которой втягивают в отверстие O (рис. 6.6) с постоянной скоростью u. Найти угловую скорость тела в зависимости от расстояния r тела до отверстия, если в начальный момент оно находилось на расстоянии r₀, а угловая скорость нити была равна ₀. Найти силу натяжения нити N как функцию расстояния r тела до отверстия О и площадь, которую опишет тело за один оборот.

Рис. 6.7

Решение. Поскольку сила тяжести, действующая на шарик, уравновешивается силой реакции стола, а момент силы N натяжения нити относительно точки O равен нулю, то момент импульса тела L относительно точки О сохраняется. Запишем выражение для момента импульса тела:

L = [r,p] = m[r,v].

Разложим скорость тела v на две составляющие: v' – поперек направления нити и u – вдоль нити (рис. 6.7):

v = v' + u.

Так как векторное произведение [r,u] = 0, то:

L = m[r, v' + u] = m[r, v'].

Поскольку υ = r, где  – угловая скорость, и векторы r и v' взаимно ортогональны, то величина момента:

L = mrυ = mr².

Поскольку L = const, а в начальный момент  = ₀, r = r₀, то:

mr² = mr₀²₀,

откуда:

.

Для нахождения величины силы натяжения нити N удобнее всего воспользоваться соотношением между скоростью изменения кинетической энергии тела Т и мощностью Р, действующих на него сил:

В нашем случае

поэтому

поскольку u = const.

Так как , то:

Производная dr/dt – это проекция скорости тела на направление нити (радиальное направление), и поскольку нить укорачивается, т.е. тело приближается к отверстию со скоростью u, то dr/dt = –u.

Окончательно:

Для мощности имеем:

P = (N,v) = (N,u + v') = (N,u) + (N,v') = (N,u) = Nu.

Здесь мы учли, что N и v' взаимно ортогональны, а N и u направлены в одну и ту же сторону вдоль нити. Итак, получаем:

Рис. 6.8

Найдём теперь площадь S фигуры, которую опишет тело за один оборот (она затенена на рис. 6.8). Для этого найдём площадь dS треугольника (он заштрихован на рис. 6.8), которую опишет нить за малый промежуток времени dt. Для этого учтём, что величина dS этой площади может быть записана как половина модуля векторного произведения радиус-вектора r и вектора перемещения ds = vdt:

где L – величина момента импульса.

Так как L = const, то искомая площадь

где  – время одного оборота тела вокруг точки О.

Осталось найти это время. Для этого учтём, что за один оборот нить повернётся на угол 2. С другой стороны, угол поворота d за малый промежуток времени dt равен произведению dt. Угловая скорость найдена ранее:

.

Проинтегрировав это равенство по периоду, найдём:

Задача 6.4. Нить длины l с подвешенным к ней небольшим телом массы m отклонена от вертикали на угол . Тело толкнули в горизонтальном направлении перпендикулярно нити. При его последующем движении угол отклонения нити в тот момент, когда скорость тела вновь была направлена горизонтально, оказался равным  (см. Рис. 6.9). Найти начальную скорость тела ₀, и скорость ₁ в точке, где нить была отклонена на угол .

Решение. В процессе движения тела скорость его всё время остаётся перпендикулярной нити, так как нить нерастяжима. Это означает, что сила натяжения нити не совершает работы. Как следствие этого механическая энергия тела остаётся постоянной, так как только сила тяжести (она консервативна) совершает работу над телом.

Рис. 6.9

Рассмотрим теперь момент импульса тела, выбрав в качестве полюса, относительно которого определяем момент, точку О подвеса нити. Вектор момента импульса перпендикулярен плоскости, образуемой нитью и вектором скорости. Поскольку тело движется, эта плоскость непрерывно изменяет своё положение, следовательно, изменяется и вектор момента импульса. Так что вектор момента импульса тела не сохраняется. Однако, как нетрудно убедиться, проекция вектора момента импульса на вертикальное направление, то есть момент импульса относительно нити, будет сохраняться. Для этого рассмотрим момент сил, приложенных к телу относительно точки О. Этих сил две – сила реакции нити и сила тяжести. Но сила натяжения нити направлена вдоль нити, поэтому её момент равен нулю.

Что касается момента силы тяжести M_тяж = [r,mg], то он перпендикулярен как радиус-вектору r (направлению нити), так и вектору g. Но это означает, что момент силы тяжести всё время направлен горизонтально. Если мы запишем уравнение моментов относительно полюса О:

,

и спроецируем его на вертикальное направление (ось OZ), то получим:

,

т.е. L_z = const.

В начальный момент (Рис. 6.9):

L_z=L₀sin = mυ₀l sin.

Примем, что в точке, где скорость тела вновь направлена горизонтально, нить отклонена на угол . Но тогда точно так же

L_z=L₁sin = mυ₁l sin.

Здесь υ₁ – скорость тела в новом положении. Закон сохранения момента импульса тогда запишется как

υ₀ sin = υ₁ sin.

Запишем теперь уравнение, выражающее закон сохранения энергии:

.

Исключив отсюда скорость υ₁ с помощью закона сохранения момента импульса, получим

Рис. 6.10

Задача 6.5. По гладкой горизонтальной плоскости движется гантелька, состоящая из двух небольших шариков массой m и М, соединённых невесомым стержнем длины l. Шарик массы М испытывает абсолютно упругий удар о неподвижную стенку, поверхность которой перпендикулярна скорости шара (рис. 6.10). Найти скорости шариков после удара, считая, что до удара они двигались с одинаковыми скоростями, в направлении перпендикулярном стержню.

Решение. Поскольку удар упругий, то энергия гантельки сохраняется. Кроме того, сохраняется момент импульса гантельки относительно точки удара О со стенкой, поскольку момент силы реакции стенки N относительно её точки приложения равен нулю.

Запишем эти уравнения:

Здесь мы учли, что радиус-вектор шарика, испытавшего удар, коллинеарен вектору его скорости, поэтому момент импульса этого шарика относительно точки удара равен нулю.

Согласно второму из получившихся уравнений видим, что υ₁ = =υ₀, тем самым υ₂ = – υ₀. Таким образом, первый шар сразу после удара не изменил своей скорости, а второй начал двигаться назад с прежней по величине скоростью. Это означает, что импульс этой гантельки изменился в результате удара:

Причина изменения импульса гантельки – импульс, переданный гантельке силой реакции стенки.

Задача 6.6. При каких условиях метеорит, движущийся вдали от Земли со скоростью V₀, может упасть на поверхность Земли? Влиянием других небесных тел пренебречь.

Решение.

Очевидно, падение метеорита на Землю возможно, если минимальное расстояние, на котором проходит его траектория от центра Земли не превышает радиуса Земли (рис. 6.11).

Рис. 6.11

При движении тела в центральном поле его момент импульса относительно центра этого поля остаётся неизменным:

mV₀ = mV₁R, (1)

где R – радиус Земли,  – прицельное расстояние метеорита относительно центра Земли, V₀ и V₁ – скорости метеорита соответственно вдали и вблизи Земли.

Помимо закона сохранения момента импульса, в данной задаче мы можем воспользоваться ещё и законом сохранения энергии, поскольку поле тяготения является консервативным полем. Потенциальную энергию тела в поле тяготения найдём из закона всемирного тяготения:

Здесь т и М – масса тела и, соответственно, масса того небесного тела, в поле тяготения которого это тело движется, G – постоянная всемирного тяготения, r – расстояние между телами, F_r – проекция силы тяготения на радиальное направление. Воспользовавшись соотношением между силой и потенциальной энергией, найдём после интегрирования по dr:

Здесь мы положили постоянную интегрирования равной нулю, что соответствует выбору потенциальной энергии, равной нулю на бесконечном удалении от небесного тела (сравните с задачей 5.1). Записывая выражение для энергии метеорита вдали от Земли и в точке касания её поверхности, получим:

Потенциальную энергию при выбранной выше её нормировке можно записать как mgR, поскольку сила тяготения, действующая на тело, находящееся на поверхности Земли, равна mg:

Тем самым уравнение закона сохранения энергии запишем в виде

откуда найдём

Воспользовавшись законом сохранения момента импульса (1), получим с учётом найденной нами скорости V₁:

.

Заметим, что 2mgR = V₂² , где V₂ – вторая космическая скорость. Тем самым:

.

Вторая космическая скорость V₂ для Земли составляет 11,2 км/с, а скорость метеоритов V₀ обычно заметно больше, её величина около 30 км/с. Поэтому чтобы метеорит мог упасть на поверхность Земли, его прицельное расстояние должно быть не больше радиуса Земли. А вот для Юпитера, вторая космическая скорость которого более чем в 5 раз превосходит вторую космическую скорость для Земли, прицельное расстояние оказывается приблизительно в 2,5 раза больше радиуса Юпитера, что приблизительно в 25–30 раз больше радиуса Земли. Количество падающих на планету метеоритов пропорционально, очевидно, площади круга, радиус которого равен прицельному расстоянию, т.е. пропорционально квадрату прицельного расстояния. Тем самым, на Юпитер падает почти в 1000 раз больше метеоритов, чем на Землю.