4. Работа. Кинетическая энергия

При решении задач на эти темы необходимо помнить основные положения.

1. 

   Рис. 1

   Если к материальной точке приложена сила F, и материальная точка совершила перемещение (бесконечно малое!) ds, то работой силы F на этом бесконечно малом перемещении материальной точки ds называется величина:

dA = (F,ds) = Fdscos  = F_sds,

где  – угол между векторами F и ds, F_s – проекция вектора силы на направление перемещения точки.

2. Работа, совершённая силой при конечном перемещении материальной точки определяется как сумма работ на бесконечно малых участках, на которые можно разбить траекторию материальной точки.

3. Мощностью силы называется величина численно равная работе этой силы за единицу времени, точнее это отношение (производная) бесконечно малой работы dA рассматриваемой силы к тому времени dt, за которое она произведена:

.

4. Кинетической энергией Т материальной точки называется величина:

,

где m – масса, a υ – скорость точки.

5. Непосредственно из второго закона Ньютона и определений работы и кинетической энергии легко получить соотношение между приращением кинетической энергии материальной точки и работой, которая совершена силой, приложенной к этой точке:

dT = dA.

Это соотношение легко обобщается на случай конечного перемещения частицы:

Т₂ – Т₁ = А₁₂,

где – значения кинетической энергии частицы в начале и конце траектории соответственно; А₁₂ – работа, совершённая над частицей при её перемещении вдоль траектории. Это соотношение часто называют теоремой об изменении кинетической энергии частицы.

6. Кинетическая энергия системы аддитивна. Кинетическая энергия системы из N материальных точек равна сумме кинетических энергий точек, составляющих систему:

Т = Т₁+ Т₂+ … + Т_N.

7. Кинетическая энергия T системы точек может быть представлена в следующем виде (теорема Кенига):

.

Здесь M – масса системы точек, V_ци – скорость центра инерции системы, Т₀ – кинетическая энергия этой системы частиц в системе отсчета, движущейся со скоростью центра инерции.

Наглядно теорему Кенига можно представить себе таким образом. Заключим систему частиц в некоторый ящик, скорость движения которого равна скорости центра инерции этой системы частиц. Тогда первое слагаемое обусловлено движением системы частиц вместе с ящиком, а слагаемое Т₀ – обусловлено движением частиц внутри ящика. Полная же кинетическая энергия системы частиц складывается из кинетических энергий обоих движений. Энергию Т₀ в свете этого представления принято назвать внутренней кинетической энергией.

Заметим ещё, что при переходе в другую систему отсчёта, скорости всех точек изменяются, следовательно, изменяется и кинетическая энергия системы. Однако, как видно из теоремы Кёнига, при этом изменяется лишь первое слагаемое, величина которого зависит от скорости центра инерции. Внутренняя же кинетическая энергия Т₀ не изменяется. Таким образом, никаким выбором системы отсчёта невозможно сделать кинетическую энергию системы частиц меньше чем Т₀.

Заметим также следующее обстоятельство. Пусть система точек является замкнутой, тогда V_ци = const. Если частицы системы взаимодействуют между собой, то все эти взаимодействия могут изменять лишь величину Т₀, а слагаемое изменяться не будет в силу закона сохранения импульса. Так при взрыве летящего снаряда скорость движения центра масс получившихся осколков не изменится.

Задача 4.1. По горизонтальной поверхности с коэффициентом трения k скользит тело. Какое расстояние s пройдет тело до остановки, если его начальная скорость υ₀?

Решение. Самый короткий путь решения этой задачи – использование соотношения между работой и приращением кинетической энергии.

Пусть в точке 1 тело имело скорость υ₀, а в точке 2 оно остановилось. Тогда

В процессе движения на тело действуют три силы: тяжести – mg, нормальная компонента реакции поверхности N и трения F_тр. Работа первых двух сил равна нулю, так как каждая из них направлена перпендикулярно перемещению тела (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Работа силы трения равна:

A_тр= F_трscos  = – F_трs,

так как угол между силой трения и направлением движения тела равен . Так как сила трения в данном случае – это сила трения скольжения, a N =mg, то работа силы трения оказывается равной

A_тр= – kmgs.

В силу соотношения между работой и приращением кинетической энергии тела получаем

А_тр=Т₂ – Т₁,

Как видим, расстояние, пройденное телом до остановки, пропорционально квадрату начальной скорости тела. Интересно также, что ответ не зависит от массы тела.

И, тем не менее, как в таком случае объяснить общеизвестный факт: при одной и той же начальной скорости тормозной путь груженного Камаза (масса около 30 тонн) существенно больше тормозного пути «Жигулей» (масса около одной тонны)?

Проанализируйте, какие из молчаливо принятых нами предположений, в данном случае не работают. Качество резины одинаковое на всех автомобилях.

Задача 4.2. Тело массы m брошено со скоростью ₀ под углом  к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти мгновенную мощность P(t), развиваемую при полете тела силой тяжести, действующей на тело.

Решение. Для вычисления мощности воспользуемся соотношением:

P = (F,v).

В данном случае F = mg, поэтому:

a = g, v = v₀ + gt,

P = (F,v) = (mg, v₀ + gt) = (mg, v₀) + mg²t.

Рассмотрим первое слагаемое в полученном результате: (mg, v₀). Перепишем его в следующем виде:

(mg, v₀) = mgυ₀cos(+/2) = – mgυ₀ sin,

тогда

P = mg(gt – υ₀sin).

Проанализируем полученный результат.

Как видно из полученного выражения для мощности P(t) она отрицательна при t < υ₀sin/g и положительна при t > υ₀sin/g.

Что означает тот факт, что при малых t мощность P(t) < 0, а при больших t, наоборот, P(t) < 0? Для ответа на этот вопрос учтем, что работа силы, действующей на тело, равна приращению его кинетической энергии:

dA = dT,

или

Отсюда ясно, что если P < 0, то и dT/dt < 0, т.е. кинетическая энергия убывает и, наоборот, при Р > 0 также и dT/dt > 0 т.е. кинетическая энергия возрастает. Следовательно, при всех t < υ₀sin/g тело движется замедляясь, а при t > υ₀sin/g скорость тела растет. Ясно также, что скорость тела уменьшается, пока тело поднимается, а при уменьшении высоты скорость тела растет. Все сказанное иллюстрируем рис. 4.2.

Рис. 4.2

Задача 4.3. Гусеничный трактор движется со скоростью υ. Найти кинетическую энергию гусеницы трактора, если ее масса равна М.

Решение. Основная сложность задачи состоит в том, что разные части гусеницы движутся относительно земли с разными скоростями, в частности, нижняя часть гусеницы, соприкасающаяся с землей, покоится. Однако кинетическую энергию гусеницы можно найти и без рассмотрения скоростей ее различных частей. Для этого воспользуемся теоремой Кенига. Согласно этой теореме кинетическую энергию гусеницы Т можно представить в виде суммы

,

где М – масса гусеницы, V_ци – скорость ее центра инерции, а Т₀ – кинетическая энергия гусеницы в системе отсчета, связанной с ее центром инерции. Нетрудно видеть, что гусеница как целое не перемещается относительно трактора и поэтому скорость центра инерции гусеницы V_ци совпадает со скоростью трактора υ, поэтому:

.

Найдем теперь Т₀. Для этого рассмотрим движение гусеницы относительно ее центра инерции (т.е. с точки зрения тракториста). Так как гусеница нерастяжима, то все ее части движутся относительно трактора с одинаковой по величине скоростью. Эту скорость легко найти. Она равна скорости трактора υ. Действительно, относительно трактора земля движется навстречу ему со скоростью υ. Часть гусеницы, соприкасающаяся с землей, покоится относительно земли (нет пробуксовки), а следовательно, относительно трактора также движется со скоростью υ. Но так как все части гусеницы имеют относительно трактора одинаковую скорость, то эта скорость как раз и равна υ. После этого нетрудно понять, что

Задача 4.4. На горизонтальной гладкой поверхности находится доска массы М. Бруску массы m, находящемуся на поверхности доски сообщили скорость υ₀ вдоль доски. Поверхность доски, по которой движется брусок шероховатая, так что движение бруска происходит с трением. Доска достаточно длинная, так что брусок всё время остаётся на поверхности доски.

1. Найти скорость тел после того как скольжение бруска по доске прекратится.

2. Найти приращение энергии системы.

Решение.

1. Для ответа на этот вопрос достаточно применить закон сохранения импульса. В начальный момент времени импульс системы был равен P₁= mυ₀, так как доска покоилась.

Рано или поздно оба тела будут двигаться вместе со скоростью υ₁. Поэтому импульс системы станет равным:

P₂ = (m+M)υ₁

Так как импульс системы сохраняется (почему, ответьте сами), то P₁ = P₂, откуда:

mυ₀=(m+M)υ₁,

.

2. Найдем теперь изменение кинетической энергии системы. В начальный момент двигался только брусок:

,

по окончании скольжения бруска оба тела движутся с одинаковой скоростью:

.

Кинетическая энергия уменьшилась, причём это уменьшение совершенно не зависит от конкретного вида сил, действующих между бруском и доской. Убыль кинетической энергии (Т₁ – Т₂) равна:

Как видим, решение очень простое и короткое. А теперь попробуем ответить на такой наивный вопрос: почему в этой задаче импульс сохраняется, а кинетическая энергия – нет?

Наивный ответ состоит в том, что энергию уменьшают силы трения. Но ведь это не ответ! Действительно, силы трения, действующие между бруском и доской, тормозят брусок, но они же сообщают движение доске. При этом импульс системы не изменяется. Почему же тогда брусок теряет энергии больше, чем получает её доска, ведь передача энергии от бруска к доске происходит благодаря работе тех же сил трения? Для ответа на этот вопрос вспомним, что изменение импульса тела связано с силой, приложенной к нему, соотношением

или

.¹

Силы взаимодействия между бруском и доской равны по величине и противоположны по направлению (третий закон Ньютона) и действуют они одинаковое время. Тогда, если обозначить импульс бруска p₁, а доски p₂, то изменения этих величин за промежуток времени dt будут такими:

Здесь F – сила трения, действующая на брусок со стороны доски. На доску действует сила – F.

Как видим, насколько уменьшился импульс бруска за какое-то время, настолько же вырос импульс доски за это же самое время. Причина этого – третий закон Ньютона.

Что же касается приращения кинетической энергии, то оно определяется работой сил, приложенных к телу:

Т₂ – Т₁ = А₁₂,

работа же пропорциональна перемещению тела.

Поскольку брусок двигался навстречу силе трения, то работа, совершённая над ним, была отрицательной. Доска же, не имея начальной скорости, двигалась в сторону действовавшей на неё силы трения. Поэтому работа силы трения над доской была положительной. Но брусок всё время двигался быстрее доски, их скорости сравнялись только в конце процесса торможения бруска. Поэтому перемещение бруска было больше перемещения доски (Рис. 4.3). Поэтому и величина работы, совершённой над бруском силой трения, была больше, чем работа, совершённая над доской. Поэтому брусок потерял энергии больше, чем её получила доска.

Рис. 4.3

Найдём работу сил трения над бруском и доской, полагая, что силы эти остаются неизменными в процессе скольжения бруска по доске. Тогда брусок движется с отрицательным ускорением, величина которого равна

a₁ = F/m,

ускорение доски

a₂ = F/M,

скорость бруска

υ_б = υ₀ – a₁t,

скорость доски

υ_д = a₂t.

По истечении некоторого времени  эти скорости сравняются и станут равными υ₁:

υ₀ – a₁ = υ₁,

a₂ = υ₁.

За это же время брусок и доска совершат перемещения s₁ и s₂:

При этом силы трения, действующие на брусок и доску, совершат различную работу:

Но Fdt = dp₂, откуда за время  получаем

F = Mυ₁,

тем самым:

Приращение кинетической энергии системы тел равно сумме работ над телами системы:

Мы пришли к тому же самому ответу, что был получен нами ранее из закона сохранения импульса. Но теперь результат полностью ясен: силой трения, приложенной к бруску, была совершена бóльшая по величине отрицательная работа, чем силой трения, приложенной к доске, которая совершила меньшую положительную работу.

Отметим вот какое ещё обстоятельство. Мы пользовались здесь понятием работы, которое строго говоря, было введено лишь для материальной точки. Здесь же речь шла о движении протяжённого тела – доски. В данном случае все точки доски двигались одинаково, поэтому её движение эквивалентно движению материальной точки, и понятие работы применимо и к доске в полной мере. Но в случае сложного движения тела, имеющего конечные размеры, разные точки тела движутся по-разному. Поэтому понятие работы и её связь с изменением кинетической энергии тела придётся уточнять. Более подробно об этом речь будет идти в разделе, посвящённом динамике твёрдого тела.

Задача 4.5. Через неподвижный невесомый блок перекинута замкнутая, тяжелая, нерастяжимая веревка массы М. В начальный момент времени за точку веревки, расположенную между блоком и нижним заворотом ее, цепляется обезьяна массы m и начинает карабкаться вверх по веревке так, чтобы удержаться на неизменной высоте (рис. 4.4). Какую мощность должна развивать обезьяна? Через сколько времени она перестанет справляться со своей затеей, если максимальная мощность, которую она может развивать, равняется Р_max?

Решение. На обезьяну действуют сила тяжести mg и сила реакции T со стороны веревки. Согласно условию задачи обезьяна все время находится на постоянной высоте, т.е. относительно земли она покоится. Тогда, согласно второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на обезьяну, равна нулю:

mg + Q = 0.

Рис. 4.4

На веревку со стороны обезьяны согласно третьему закону Ньютона действует сила

– Q = mg.

Под действием этой силы веревка будет двигаться, причем все ее части будут иметь одинаковую по величине скорость.

Найдем, как скорость веревки изменяется с течением времени. Для этого используем соотношение между мощностью и скоростью изменения кинетической энергии:

.

В нашем случае:

Мощность, развиваемая обезьяной, равна

P = Qυ = mgυ,

откуда

Так как по условию υ = 0 при t = 0, то при t > 0 получим:

Полагая в этом равенстве Р = Р_тах найдем продолжительность обезьяньей забавы:

Задача 4.6. Автомобиль «Жигули» может двигаться с максимальной скоростью 50 км/ч в гору с уклоном 16 % (т.е. её наклон составляет 16). При движении автомобиля по горизонтальной дороге с той же скоростью, его мотор развивает мощность P₁ = 20 л.с. (1 лошадиная сила  740 Вт). Какова максимальная мощность мотора? Принять массу автомобиля равной 1200 кг.

Решение. Движение автомобиля вызывается силой трения между ведущими колёсами и дорогой. Эта сила направлена вперёд. Будем называть эту силу силой тяги, чтобы отличать её от силы трения, действующей на ведомые колёса автомобиля, и направленной назад. Кроме того, воздух также создает силу сопротивления, которая зависит от скорости движения автомобиля.

При равномерном движении автомобиля по горизонтальной дороге сумма сил, приложенных к автомобилю, равна нулю. Это означает, что сила тяги равна силе сопротивления (трения ведомых колёс и сопротивления воздуха), тем самым мощность силы сопротивления равна мощности силы тяги:

F_сопрV = P₁.

При движении автомобиля в гору к силе сопротивления добавляется ещё и составляющая силы тяжести параллельная дороге (рис. 4.5):

= F_сопр +mg sin.

Рис. 4.5

Соответственно, должна увеличиться и сила тяги на эту же величину. Поэтому максимальная мощность мотора:

Р_макс =V = V(F_сопр +mgsin) = P₁ + Vmgsin.

Подставляя сюда числовые данные задачи, найдём:

Р_макс  20 +1412009,80,28/740  82 л.с.

Задача 4.7. Движущееся атомное ядро распалось на два осколка массами m₁ и m₂, импульсы которых оказались равными р₁ и р₂, а угол между направлениями импульсов . Найти энергию, которая выделилась при распаде ядра.

Решение. При распаде ядра действовали только внутренние силы, поэтому импульс системы сохранялся: р = р₁ + р₂.

Энергия (кинетическая) осколков больше первоначальной кинетической энергии ядра, на величину выделившейся при распаде энергии:

Возведём первое уравнение в квадрат:

.

Подставив получившееся выражение для квадрата импульса в уравнение закона сохранения энергии, найдём выделившуюся энергию: