3. Импульс

При решении задач на эту тему необходимо помнить основные положения.

1. Импульс точки

p = mv,

где m – масса точки, v – вектор ее скорости.

2. Импульс частицы изменяется под действием сил, приложенных к этой частице:

где – сумма сил, приложенных к частице. Это просто иная, причем наиболее общая, формулировка второго закона Ньютона.

3. Импульс аддитивен, т.е. импульс системы точек равен векторной сумме импульсов точек, составляющих систему:

где p_i – импульсы точек, составляющих систему, N – здесь и далее число точек в системе.

4. Замкнутой системой тел называют такую систему тел, на которую не действуют внешние силы. Импульс замкнутой системы тел не изменяется со временем. Это утверждение называется законом сохранения импульса.

5. Из третьего закона Ньютона вытекает, что сумма сил, действующих между телами замкнутой системы, равна нулю. Эти силы обычно называют внутренними силами.

6. Из пп. 3–5 вытекает уравнение:

где P – импульс системы точек, – силы, действующие на тела системы, со стороны тел, не входящих в систему (такие силы называют внешними силами). Так, при взрыве летящего снаряда, силы, разрывающие снаряд, являются внутренними силами по отношению к снаряду, а сила тяжести является внешней силой.

7. Центром инерции (центром масс) системы точек называется точка, радиус-вектор которой R_ци определяется следующим образом:

,

где r_i – радиус-векторы точек с массами m_i соответственно.

8. Скорость центра инерции V_ци определяется как

,

где v_i – векторы скорости точек с массами m_i соответственно, Р – импульс системы точек, M – сумма масс точек, составляющих систему (масса системы). Это равенство можно записать иначе:

Р = МV_ци,

т.е. импульс системы материальных точек совпадает с импульсом материальной точки, масса которой равна массе системы точек, а скорость равна скорости центра масс системы.

9. Дифференцируя последнее уравнение по времени и воспользовавшись уравнением п. 6, найдём ускорение a_ц центра инерции:

где М – масса системы, – внешние силы, приложенные к точкам системы. Иными словами, центр масс системы точек движется как материальная точка с массой, равной массе системы, под действием силы, равной векторной сумме внешних сил, приложенных к точкам системы. Это утверждение называют теоремой о движении центра масс системы.

Задача 3.1. Из автомата, выпускающего n пуль в секунду, производится стрельба по стальной плите. При ударе о плиту пуля полностью теряет свою скорость. Найти среднюю силу, действующую на плиту, если масса каждой пули m, а скорость υ, причем пули летят перпендикулярно поверхности плиты.

Решение. Согласно второму закону Ньютона

dp/dt = F.

Таким образом, средняя сила, действующая на плиту, равна импульсу, переданному за одну секунду плите, ударившимися о неё пулями. Так как число таких пуль равно n и импульс каждой из них р = mv, то сила равна:

F = nmv.

Для автомата примем числовые значения: m = 7 г, υ = 500 м/с, п = 10 с^–1. Тогда:

F = 710^–350010 = 35 Н.

Подумайте сами, как изменится ответ, если пули упруго рикошетируют от плиты, т.е. после удара их скорость имеет прежнюю величину, но направление движения изменяется на обратное.

Кстати, вот ещё какой вопрос: а как обстоит дело со знанием физики у творцов современных боевиков, в которых мы частенько видим, как пули, попадающие в злодея, буквально сносят его?

Задача 3.2. Найти положение центра инерции следующих систем:

1. двух материальных точек, находящихся на некотором расстоянии друг от друга;

2. трех одинаковых материальных точек, находящихся в вершинах треугольника ABC;

3. однородного тонкого стержня;

4. прямоугольной пластинки;

5. фигуры, составленной из двух прямоугольников (слесарный угольник). В данном случае найти центр инерции без вычислений, геометрическими построениями.

Решение.

1. Совместим начало координат с одной из точек, скажем, точкой т₁ (рис. 3.1). Тогда согласно определению:

Рис. 3.1

Таким образом, центр инерции двух частиц находится на отрезке, соединяющем эти точки. При этом расстояние от центра инерции до соответствующей точки обратно пропорционально её массе:

.

В частности, центр инерции двух одинаковых точек находится в середине отрезка, соединяющего эти точки.

2. Поместим начало координат в точку А, совместив его тем самым с одной из материальных точек. Пусть радиус-векторы двух других материальных точек будут r₁ и r₂, тогда радиус-вектор центра инерции запишется следующим образом:

.

Рис. 3.2

Полученный результат означает, что центр инерции (т. О на рис. 3.2) лежит на диагонали параллелограмма, построенного на векторах r₁ и r₂, на расстоянии 1/3 длины диагонали от вершины А. Но так как диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения D пополам, то AD является медианой треугольника ABC. При этом АО : ОD = 2 : 1.

Итак, центр инерции лежит на медиане треугольника ABC. Если мы выберем начало координат в точке В, то получим, что центр инерции лежит на другой медиане, делящей пополам сторону АС. Аналогично, поместив начало координат в точку С получим, что центр инерции лежит на третьей медиане. Таким образом, центр инерции системы, состоящей из трех одинаковых точек, лежит одновременно на трех медианах, т.е. находится в точке их пересечения.¹

3. Воспользуемся для ответа на этот вопрос результатом п.1 нашей задачи, для чего разобьем стержень на множество достаточно малых частей так, чтобы это разбиение было симметричным относительно середины стержня. «Достаточная малость» здесь понимается в том смысле, чтобы длина частей, на которые разбит стержень, была мала по сравнению с соответствующими расстояниями до середины стержня. Симметричность разбиения означает, что каждой частице с массой, скажем, m, находящейся на некотором расстоянии х правее центра стержня, соответствует такая же частица, находящаяся на таком же расстоянии х левее центра стержня. Так как центр инерции каждой такой пары частиц лежит в середине стержня, а весь стержень разбит лишь на такие пары, то центр инерции стержня лежит в его середине.

4. 

   Рис. 3.3

   Поместим начало координат в точку O пересечения диагоналей пластинки (рис. 3.3). Всякая прямая, проведённая через точку О, пересекает противоположные стороны пластинки в некоторых точках А и В. Точка О делит отрезок АВ на две равные части. Поэтому для всякой точки С на АО можно указать симметричную ей точку С' на ОВ. Центр инерции частиц, расположенных в этих точках, находится в точке О. Тем самым, центр инерции всей пластинки находится также в точке О.

Заметим, что точно такие же рассуждения можно привести для любого однородного тела, обладающего центром симметрии. Как видим, центр симметрии всегда является центром инерции однородного тела.

5. Предварительно заметим, что в случае, когда мы можем разбить систему точек на две части, для каждой из которых нам известна её масса и положение центра инерции, нахождение центра инерции всей системы сводится к задаче о местонахождении центра инерции двух материальных точек:

Здесь R₁ и R₂ – радиус-векторы центра инерции соответственно первой и второй части системы, а М₁ и М₂ – массы этих частей:

Рис. 3.4

Разобьём данную нам фигуру на два прямоугольника AABB и ACDD. Центр инерции каждого из прямоугольников лежит на пересечении их диагоналей в точках O и O. Следовательно, центр инерции всей фигуры лежит на отрезке OO.

Разобьём теперь данную нам фигуру на два других прямоугольника ССBB и CDDA. Центр инерции каждого из этих прямоугольников лежит на пересечении их диагоналей в точках O₁ и . Следовательно, центр инерции всей фигуры лежит на отрезке O₁ . Поскольку центр инерции определяется однозначным образом, то он принадлежит обоим отрезкам и расположен в точке их пересечения (рис. 3.4).

Рис. 3.5

Задача 3.3. Среди подвигов знаменитого барона Мюнхгаузена есть полёт на пушечном ядре с целью разведки вражеских укреплений. Допустим, что масса ядра составляла 15 кг, а вес барона со всей военной амуницией – 60 кг (судя по книжным иллюстрациям Гюстава Доре (рис. 3.5), барон был довольно тщедушен). Определить, какую часть пути до вражеских позиций барону пришлось идти пешком?

Решение. Пусть скорость ядра после выстрела была υ₀. Тогда импульс ядра был mυ₀. После того, как барон вскочил на ядро, импульс системы «ядро + барон» остался прежним, но её масса стала иной, поэтому изменилась и скорость:

mυ₀ = (m+M)υ₁,

Как видим, скорость ядра уменьшилась в пять раз. Дальность полёта тела пропорциональна квадрату его начальной скорости (см. задачу 1.3). Поэтому ядро вместе с бароном пролетело лишь 1/25 часть пути до противника. Остальную часть пути барон, очевидно, вынужден был идти пешком.

Задача 3.4. Две частицы с массами m₁ и m₂ соединены невесомой пружиной. В момент времени t = 0 частицам сообщили скорости v₁ и v₂ соответственно, после чего система начала двигаться в однородном поле тяжести. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить импульс этой системы как функцию времени P(t), также определить зависимость радиус-вектора центра инерции системы от времени R_ци(t), если при t = 0 частицы имели радиус-векторы r₁ и r₂.

Решение. Эта задача вовсе не так трудна, как это может показаться на первый взгляд. Ведь в задаче требуется найти лишь движение центра инерции системы, а вовсе не отдельных тел, составляющих систему. Согласно теореме о движении центра инерции

,

так как никаких внешних сил, кроме сил тяжести, на систему не действует (сила упругости пружинки – сила внутренняя и в число сил, определяющих ускорение центра инерции, не входит). Таким образом,

,

откуда находим ускорение центра инерции a_ци = g и для скорости центра инерции получаем

V_ци (t)= V_ци (0) + gt, (1),

где V_ци (0) – начальная скорость центра инерции, равная по определению

!!

Поскольку

,

то получаем

Для радиус-вектора R_ци(t) после интегрирования (1) по времени имеем

,

где

Как видим, центр инерции движется как материальная точка под действием силы тяжести при заданном начальном положении R_ци(0) и начальной скорости V_ци(0).

Задача 3.5. На дне запаянной пробирки, подвешенной на нити над столом, сидит муха, масса которой равна массе пробирки. Расстояние L от дна пробирки до поверхности стола равно длине пробирки (рис. 3.6). Нить пережигают, и за время падения пробирки муха перелетает со дна пробирки в самый верхний конец ее. Определить время, по истечении которого нижний конец пробирки стукнется о стол.

Рис. 3.6

Решение. Эта задача похожа на задачу 3.3 в том отношении, что для ее решения достаточно рассмотреть лишь движение центра инерции системы. В самом деле, так как здесь центр инерции движется с ускорением свободного падения, то время падения найдем из равенства:

, (1)

где h – высота, на которую опустится центр инерции системы "пробирка+муха". Эта высота легко находится. Действительно, в начальный момент времени центр инерции находился на высоте:

где L_пр – высота, на которой находился центр инерции пробирки. В момент удара о стол новая высота, на которой находится центр инерции системы, равна:

где L'_пр – высота, на которой находится центр инерции пробирки в момент падения пробирки на стол. Что касается мухи, то она осталась на прежней высоте L, согласно условию задачи.

Искомая высота h = h₁ – h₂. Используя выражения для h₁ и h₂, находим h:

h = h₁ – h₂ = (L_пр – ) /2 = L/2, (2)

так как центр инерции пробирки опустился вместе с пробиркой на высоту L. Из (1) и (2) находим

Заметим, что если бы муха, сидела на одном месте, то время падения было бы больше. Причину этого понять нетрудно. Действительно, движение мухи обусловлено действующими на нее силами тяжести и подъемной силой воздуха, возникающей при движении крыльев мухи. Эти силы направлены в противоположные стороны: сила тяжести – вниз, подъемная сила – вверх. Но согласно третьему закону Ньютона на воздух, заключенный в пробирке, со стороны мухи будет действовать сила, равная по величине подъемной силе и противоположная ей по направлению, т.е. направленная вниз. Эта сила сообщит воздуху в пробирке импульс, направленный вниз, который, в конце концов, передается пробирке, что приводит к увеличению ее скорости и уменьшению времени падения.

Рис. 3.7

Задача 3.6. На стол, из расположенного над ним сосуда с песком, равномерно высыпается песок (рис. 3.7). Масса песка, высыпающегося из сосуда в единицу времени равна . Расстояние от отверстия в сосуде до стола равно L. Скорость песка на выходе из сосуда равна нулю. Как зависит от времени сила, действующая на стол со стороны песка?

Решение. Песчинки свободно падают, т.е. движутся с ускорением свободного падения. Поэтому они достигают стола за время:

,

и падают на стол со скоростью:

.

За время dt на стол упадёт масса песка dm = =dt и передаст столу импульс:

dp = Vdm =Vdt.

Сила F_пад, с которой будет действовать падающий песок на стол, равна

.

Если подставить сюда V = g, то найдём:

F_пад = g.

Произведение  представляет собой массу песка, высыпающегося за  – время падения песка от сосуда до стола. Иными словами,  равно массе струйки песка, находящейся между сосудом и столом.

Кроме силы F_пад на стол также действует сила тяжести F_леж со стороны песка уже лежащего на столе:

Рис. 3.8

Здесь мы отсчитываем время с момента начала движения песка (с момента открытия отверстия в сосуде). Поэтому пока песок не долетел до стола, никакая сила на стол не действует.

Окончательно находим:

График, иллюстрирующий наш результат, изображён на рис. 3.8.

Задача 3.7. Двигатель водомётного катера забирает ежесекундно из реки воду массой  и выбрасывает её с кормы со скоростью U относительно катера. Найти скорость V(t) катера как функцию времени. Масса катера равна М.

Решение. Пусть скорость катера в данный момент времени равна V(t). За время dt катер заберёт из реки воду массой dt, начальная скорость которой равна нулю. За это же время катер выбросит такую же массу воды, но скорость этой выброшенной воды

V' = V(t) + U.

Скорость катера после выбрасывания воды также станет иной, обозначим её V(t+dt).

Система «вода + катер» замкнутая. Поэтому можно воспользоваться законом сохранения импульса:

M V(t) = M V(t+dt) + dt( V(t) +U),

Откуда после деления на dt получаем

.

Спроецируем это уравнение на направление движения катера:

(1)

Прежде чем решать полученное уравнение, проанализируем его. Как видим, пока скорость катера V < U, производная dV/dt > 0, т.е. скорость катера растёт. Однако, чем больше скорость катера, тем меньше разность U – V, и тем меньше производная dV/dt. И когда скорость катера сделается равной U, производная dV/dt станет равной нулю. Это означает, что рост скорости катера прекратился. Таким образом, скорость катера растёт до тех пор, пока она не сравняется со скоростью U.

Найдём теперь решение уравнения (1). Для этого разделим переменные, умножив обе части уравнения на dt/M(V–U):

.

Взяв интеграл от обеих частей этого уравнения, получим

,

где С' – постоянная интегрирования.

Потенцируя полученное соотношение, найдём:

.

Константу С определим, полагая начальную скорость катера равной нулю: V(0) = 0, откуда C = – U.

Окончательно находим:

.

Как видим, скорость катера возрастает от нуля до U.

Обозначим  = M/. Введённая величина  имеет размерность времени. Смысл этой величины становится ясным, если переписать наш ответ следующим образом:

Рис. 3.9

.

Полученное соотношение показывает, что за время порядка  скорость катера практически достигает своего предельного значения U (рис. 3.9).