1. Кинематика материальной точки

Кинематика описывает движение тел, устанавливает характеристики движения, но причины, вызвавшие движение, ею не рассматриваются. Наиболее простой объект для описания – материальная точка, т.е. тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Наряду с термином "материальная точка" будем пользоваться также термином "частица".

1. Положение частицы в пространстве задается либо ее координатами, либо радиусом-вектором, проекции которого на координатные оси совпадают с координатами частицы (рис. 1.1):

Рис. 1.1

r_x = х, r_у= y, r_z = z.

Сам же радиус-вектор r запишется тогда в виде:

r = xe_x + ye_y + ze_z,

где e_x, e_y, e_z – направляющие единичные векторы (орты) координатных осей.

2. Для такого описания нужно каким-то образом задать систему координат, связанную с некоторым телом, т.е. систему отсчёта. Обычно задают декартову систему координат, хотя нередко используют и другие координатные системы. Выбор системы отсчёта ничем не ограничен, можно выбирать любую удобную систему отсчёта.

3. Если точка движется, то ее координаты x, y, z (или, что то же самое, ее радиус-вектор r) будут изменяться с течением времени. Если известна зависимость координат от времени t, т.е. заданы х, у, z (или r) как функции t:

x = x(t), y = y(t), z = z(t),

r = r(t),

то говорят, что задан закон движения.

4. Если в моменты времени t₁ и t₂ положение точки характеризовалось радиусами-векторами r(t₁) и r(t₂), то вектор

r = r(t₁) – r(t₂)

называется перемещением точки за время t = t₁ – t₂, вектор

v_cp = r /t

называется вектором средней скорости за время t.

5. Скорость точки: , а ее проекции на оси координат:

6. Вектор скорости v направлен по касательной к траектории точки. Это иллюстрируется рис. 1.2, где изображена траектория точки и радиусы-векторы r(t₁) и r(t₂) в два момента времени t₁ и t₂. Там же изображены векторы скорости v(t₁) и v(t₂) в эти же моменты времени.

Рис. 1.2

7. Ускорение точки a = dv/dt, его проекции на координатные оси:

8. Вектор ускорения а можно представить в виде суммы двух векторов: а = a_n + a_. Здесь a_ и а_n – векторы тангенциального и нормального ускорений. Эти векторы определяются следующим образом: υ=|v|.

В свою очередь,  и n – это векторы единичной длины. Направление вектора  совпадает с направлением вектора скорости v: v = υ, а вектор n перпендикулярен вектору скорости v и направлен в сторону, куда траектория вогнута (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Можно утверждать, что каждый бесконечно малый участок кривой можно рассматривать как дугу окружности. Радиус этой окружности R называется радиусом кривизны кривой в данной точке. Разумеется, в разных точках кривой эти радиусы могут быть различны. Физический смысл векторов a_ и а_п следующий. Вектор a_ характеризует быстроту изменения модуля скорости, вектор же а_п характеризует быстроту изменения направления скорости. Отметим еще, что a_ направлен в сторону движения, если dυ/dt>0, т.е. когда величина скорости растет (ускоренное движение), и, соответственно, он направлен в обратную сторону, когда dυ/dt < 0, т.е. величина скорости убывает (замедленное движение).

9. Как было отмечено выше, выбор системы отсчёта ничем не ограничен, можно выбирать любые системы отсчёта. Связь между значениями скоростей v и v' одной и той же материальной точки в двух различных си­стемах отсчета¹ K и K' даётся правилом сложения скоростей:

v' = v + V,

где V – скорость системы K относи­тельно K'.

Хотя правило сложения скоростей представ­ляется совершенно очевидным, однако, нужно иметь в виду, что оно основано на предпо­ложении об абсолютном течении времени. Именно, мы счи­таем, что интервал времени, за который частица смещается на величину ds в системе K, равен интервалу времени, за который частица смещается на соответствующую величину ds' в системе K'. Это предположение в действительности оказывается, стро­го говоря, неправильным, но следствия, вытекающие из неабсолютности времени, начинают проявляться только при очень больших скоростях, сравнимых со скоростью света. В частности, при таких скоростях уже не выполняет­ся правило сложения скоростей. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь достаточно малые скорости, когда предположение об абсолютности времени хорошо оправ­дывается.

Задача 1.1. Материальная точка движется вдоль оси ОХ по закону , где b – некоторая константа, а х – координата точки. Найти зависимость от времени скорости υ_x = υ_x(t), координату точки х как функцию времени x = x(t), ускорение точки а_х. Учесть, что в момент времени t = 0 частица находилось в точке с координатой x = 0.

Решение. Так как по определению υ_x = dx/dt, то, учитывая условие задачи, получим уравнение

Интегрируя, получим: .

Константу С выбираем так, чтобы согласно начальному условию х = 0 при t = 0, получаем С = 0, откуда .

Найдем скорость υ_х(t): .

Ускорение: .

Таким образом: .

Как видим, движение является равноускоренным с нулевой начальной скоростью.

Задача 1.2. Материальная точка движется вдоль прямой по закону: x(t) = bt(c – t/2), где b и с некоторые положительные константы, t – время движения, x(t) – координата тела в момент t. Найти: скорость тела как функцию времени υ_x = υ_x(t), среднюю скорость тела за первые t секунд движения, ускорение и путь, пройденный телом за первые t секунд.

Решение. Согласно определениям скорости, ускорения и средней скорости, находим скорость υ_x = dx/dt, дифференцируя x(t) по времени t:

υ_x (t) = b(c – t).

Повторное дифференцирование дает ускорение:

a_x = dυ_x/dt = –b.

Средняя скорость:

υ_cp(t) = [x(t) – x(0)] /t = b(c – t/2).

Результаты вычислений показывают, что тело движется с постоянным ускорением, знак минус означает, что направление ускорения противоположно направлению оси ОХ. При , когда величина скорости уменьшается, а при , когда , тело изменяет направление своего движения и величина скорости растёт.

Рис. 1.4

Найдем теперь путь s, пройденный телом за первые t секунд его движения. Здесь следует учесть, что путь s(t) и перемещение x(t) – это вещи разные. Нагляднее всего это видно в случае, когда траектория тела является некоторой кривой. На рис. 1.4 вектор r(t) – перемещение за время t, а длина кривой АВ – путь s(t), пройденный за это же время.

Для нахождения s(t) разобьем кривую АВ на много малых частей, таких, что каждую из них можно считать отрезком прямой. Тогда для каждой из этих частей ds = |υ|dt. Интегрируя это равенство, получим:

.

В нашем случае υ_x (t) = b(c – t), поэтому для модуля скорости находим:

|υ_x (t) | = b(c – t), если t < c,

|υ_x (t) | = b(t – с), если t > c.

Тогда при t < с получаем:

Если же t > c, то:

Итак:

Посмотрим, что же мы получили. Как видим, путь и перемещение совпадают, пока t < c. Пусть t < c. Так как υ_х(t) = b(c – t), то при t < с тело движется вправо (υ(t) > 0). При t = с тело останавливается (υ_х(t) = 0) в точке с координатой х = bс²/2.

Для t > c картина сложнее: скорость отрицательна, т.е. направление движения изменяется на обратное, и тело движется влево. При t = 2с оно вновь окажется в начале координат, так как х(2с) = 2bс(с – 2с/2) = 0, а при t > 2с сместится левее начала координат, так как x(t) < 0, т.е. перемещение становится отрицательным. При этом путь s положителен:

s = bc² – x(t).

Путь и перемещение совпадают лишь при t < с, т.е. при движении по прямой с неизменной по знаку скоростью.

Полученные результаты удобно проиллюстрировать графически. Построим графики зависимости υ(t), |υ(t)|, x(t), s(t) (см. рис. 1.5).

Рис. 1.5

При t < с график пути s(t) совпадает с графиком x(t), который в свою очередь представляется параболой, а при t > с график s(t) получается из графика x(t) отражением его относительно прямой АА’, которая параллельна оси ОХ и проходит через точку А с ординатой bс²/2 (Почему? Подумайте сами. А в качестве подсказки советую еще раз посмотреть на полученные выражения для s(t) и υ(t)).

Мы решили задачу при условии положительности констант b и с. Разберитесь самостоятельно с характером движения тела, если или b, или с, или обе эти величины отрицательны.

Задача 1.3. Камень брошен со скоростью υ₀ под углом  к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: зависимость вектора скорости v от времени движения t, вектор r перемещения камня за время t, среднюю скорость v_cp камня за первые t секунд полета, максимальную высоту подъема Н, дальность полета s и полное время полета Т, векторы тангенциального a_ и нормального a_n ускорения камня как функцию времени t, радиус кривизны траектории R как функцию t и уравнение траектории y = f (х).

Решение. В задачах подобного рода отсутствие сопротивления воздуха означает постоянство ускорения камня: a = g, где g – вектор ускорения свободного падения. Этот факт обусловлен тем обстоятельством, что в отсутствие сопротивления воздуха на камень действует единственная сила – сила тяжести mg (m – масса камня). В силу второго закона Ньютона:

ma = mg,

откуда a = g.

Для нахождения v(t) вспомним, что a = dv/dt. Поскольку a = g, то v – линейная функция времени:

v(t) = gt + v₀, (1)

где v₀ – некоторый постоянный вектор. Выясним смысл v₀. Полагая t = 0, получим:

v (0) = v₀,

то есть v₀ – вектор начальной скорости камня.

Найдем радиус-вектор r(t). Вспоминаем, что v = dr/dt. В нашем случае v определяется формулой (1). Поэтому

dr/dt = gt + v₀. (2)

Интегрируя (2) по времени получим:

. (3)

При t = 0 r(0) = r₀. Если выбрать начало координат в точке бросания, то r(0) = 0. Таким образом, r₀ = 0 и

. (4)

Полученный результат показывает, что траектория камня – плоская кривая, лежащая всеми своими точками в вертикальной плоскости, образованной векторами g и v₀.

Средняя скорость v_cp(t) камня за первые t секунд полета по определению равна:

,

согласно (3) получаем:

. (5)

Как видим v_ср(t) ≠ v (t). Результаты (1)–(5) иллюстрируются рис. 1.6.

Для нахождения максимальной высоты подъема Н заметим, что в наивысшей точке траектории вертикальная компонента скорости υ_y равна нулю. Действительно, если бы это было не так, то тело поднималось бы или опускалось, но в любом случае оно не могло бы находиться в наивысшей точке траектории.

Рис. 1.6

Выберем систему координат с осью OY, направленной вертикально вверх и горизонтальной осью OX, ориентированной так, чтобы плоскость XOY содержала вектор начальной скорости v₀. В этом случае согласно (2) компоненты скорости равны соответственно:

υ_x(t) = υ₀cos , υ_y(t) = υ₀sin – gt . (6)

Из условия υ_y(t₀) = 0 и из (6) найдем t₀ – время подъема на максимальную высоту:

t₀ = υ₀sin  /g.

Координаты камня в момент t равны соответственно:

. (7)

Подставляя сюда найденное значение t₀, получим:

.

Для нахождения дальности полета s (расстояния между точкой падения и точкой бросания), заметим, что в точке падения y(t) = 0, откуда найдем время полёта Т:

а также дальность полёта

Рис. 1.7

Заметим, что Т = 2t₀, т.е. время подъема t₀ на максимальную высоту равно половине времени полета камня Т и, тем самым, времени спуска. Отметим, что это справедливо только при игнорировании силы сопротивления воздуха.

Подумайте: что будет больше – время подъема или время спуска, если учесть силу сопротивления воздуха?

Заметим также, что высота и дальность полёта пропорциональны квадрату начальной скорости тела.

Найдём теперь компоненты ускорения a_ и a_n. Заметим, что сумма этих векторов равна ускорению свободного падения (рис. 1.7):

g = a_ + a_n.

Для нахождения величины тангенциального ускорения a_ найдем квадрат модуля скорости:

υ² (t) = (v(t), v(t)) = (v₀+gt, v₀+gt) =

= + 2(v₀, g)t + g²t² =

= – 2υ₀gt sin + g² t². (8)

Здесь мы воспользовались определением квадрата модуля вектора, как скалярного произведения вектора самого на себя: |v|² = (v, v).

Дифференцируя обе стороны (8) по времени, получим

,

отсюда найдём тангенциальное ускорение:

. (9)

Отметим, что a_, которое мы получили, это не модуль вектора |a_|, а проекция вектора a_ на направление вектора скорости v. Так, если a_ > 0, то a_ и v направлены в одну сторону, если a_ < 0, тo – в противоположные.

Найдем теперь a_n. Для этого учтем, что a_+ a_n = g (см. рис. 1.7). Так как a_ и а_n взаимно перпендикулярны, то:

g² = a_² + a_n²,

откуда получим

(10)

Для нахождения радиуса кривизны траектории воспользуемся связью между a_n, υ и R: a_n = υ ²/R. Отсюда с учетом (8) и (10):

. (11)

Проанализируем полученные результаты. Выражение (9) для a_ показывает, что a_ < 0 при t < υ₀ sin/g, т.е. на восходящей части траектории dυ /dt < 0. Это означает, что скорость камня уменьшается. При t > υ₀ sin/g ускорение a_ > 0, и скорость камня растет на нисходящей части траектории.

Из (11) нетрудно видеть, что радиус кривизны R сначала уменьшается (так как числитель в (11) равен υ^3/2, а скорость вначале уменьшается), а затем при t > υ₀sin/g растет. В частности, в точке бросания при t =0

,

а в наивысшей точке траектории при t = υ₀ sin/g:

.

Соотношения (7) представляют собой уравнение траектории в параметрическом виде (x=x(t), y=y(t)). Если выразить t через x(t) и подставив его во второе из уравнений (7), то получим уравнение траектории в явном виде:

. (12)

Из (12) можно найти максимальную высоту подъема H и дальность полета s, найденные нами ранее из других соображений. Для нахождения s заметим, что у = 0 при x = s. Откуда с помощью (12) получим

Сокращая на s, получим знакомый результат:

Для нахождения Н = max у(х) продифференцируем (12) по х:

В точке максимума dy/dx = 0, откуда найдем х₀, соответствующее максимуму у(х):

.

Подставив х₀ в (12), найдём высоту:

.

Задача 1.4. Зависимость координат частицы от времени имеет вид x = bcos t, y = bsin t (где b>0 и >0 – константы). Найти радиус-вектор r(t), скорость v(t), ускорение a(t), а также их модули, скалярные произведения и объяснить полученный результат. Найти также траекторию частицы и направление ее движения по траектории.

Решение. Согласно определению

r(t) = xe_x + ye_y = bcos te_x + bsin te_y

Найдем модули векторов r, v и а:

Найдём теперь скалярные произведения (r, v) и (r, a):

(r, v) = xυ_x + yυ_y = bcos t(– bsin t) + bsin t bcos t = 0,

(r, a) = – ² (r, r) = b²².

Как видим, векторы r и v взаимно перпендикулярны.

Поскольку а = –r, то а и r направлены в противоположные стороны, причем вектор ускорения а направлен к началу координат. Траекторию можно определить двумя способами.

способ 1. Так как координата частицы z = 0 всё время и r = b = = const, то траектория лежит в плоскости XOY и представляет собой окружность радиуса b с центром в начале координат.

способ 2. Так как х = bcos t, у = bsin t, то х² + у² = b².

Мы получили уравнение окружности радиуса R = b с центром в начале координат.

Рис. 1.8

Найдем направление движения частицы. При t = 0 частица находится в точке с координатами х = b, у = 0 и имеет скорость:

v(0) = υ_x(0)e_x + υ_y(0)e_y = 0e_x +be_y,

направленную вдоль оси OY, т.е. движение происходит против часовой стрелки (рис. 1.8).

Если b < 0, то направление движения изменяется на противоположное.

Задача 1.5. Колесо радиуса R катится без скольжения со скоростью υ. В начальный момент t = 0 координаты точки на ободе колеса х = 0 и y = 0. Найти закон движения этой точки, изобразить её траекторию и указать направления скорости и ускорения.

Решение. За время t после начала движения центр колеса сместится на расстояние Vt, а само колесо повернётся вокруг оси на некоторый угол . Точка колеса А, которая в начальный момент находилась в начале координат, повернётся вместе с колесом. Угол  поворота колеса связан с перемещением центра колеса очевидным соотношением (рис. 1.9), являющимся следствием, предполагаемого в условии, отсутствия скольжения:

Vt = R. (1)

Рис. 1.9

Проще всего этот результат получить, если представить, что на обод колеса намотана лента, конец которой закреплён в начале координат. Если колесо откатится вправо на расстояние s = =Vt, то с колеса смотается кусок ленты также длины s = Vt. С другой стороны, этот кусок ленты, будучи намотан на обод колеса, представляет собой дугу окружности, концы которой видны из центра колеса под углом  = s/R. Этот результат и доказывает справедливость (1).

Координаты точки А, как следует из рис. 1.9, равны:

x = R( – sin  ), y = R(1 – cos ),  = Vt/R.

Кривая, задаваемая этими соотношениями, называется циклоидой. Она изображена на рис. 1.10.

Рис. 1.10

Из найденного закона движения легко найти компоненты вектора v скорости точки A:

В те моменты времени, когда y = 0, т.е. точка А оказывается в нижнем положении ( = 0, 2, 4, …), её скорость становится равной нулю. Что не удивительно, так как по условию проскальзывание отсутствует, отсутствие скольжения было "заложено" в соотношение (1) выше.

Подумайте сами, как изменится вид траектории, если колесо скользит. Здесь возможны два случая: скорость точки касания колеса с землёй направлена навстречу оси ОХ (так движутся ведущие колеса автомобиля при езде на скользкой дороге) или, наоборот, скорость точки касания направлена вперёд, т.е. в направлении оси ОХ. Это случай экстренного торможения автомобиля, когда он скользит по дороге.

Что касается направления вектора v скорости точки А, то этот вектор направлен из точки А в точку С, находящуюся в данный момент на самом верху колеса. Действительно, проведём из точки B касания колеса с осью ОХ в точку А вектор r. Его проекции на оси ОХ и ОY составляют:

r_x = x – Vt = – R sin,

r_y = y = R(1 – cos).

Этот вектор r ортогонален вектору v скорости точки А, поскольку скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(r,v) = r_xυ_x + r_y υ_y = – R sinV(1 – cos) + R(1 – cos)V sin = 0.

Вектор r – есть катет АВ прямоугольного треугольника АВС. Поскольку всякий прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, имеет гипотенузой диаметр этой окружности, то ВС – диаметр колеса. Но точка В есть самая нижняя точка колеса, следовательно, С – самая верхняя его точка.

Этот результат можно получить и без вычислений, если заметить, что скорость точки соприкосновения колеса с осью ОХ равна нулю, поскольку колесо не скользит. Но это означает, что колесо в данный момент времени вращается вокруг этой точки. Следовательно, вектор скорости точки А направлен перпендикулярно радиус-вектору r. Всё остальное вытекает из этого факта.

Продифференцировав компоненты скорости по времени, найдём компоненты ускорения:

Нетрудно понять, что ускорение точки в любой момент времени направлено к центру колеса. Проще всего это сделать, перейдя в систему отсчёта, которая равномерно движется вместе с осью колеса. В этой системе отсчёта точка А движется равномерно со скоростью V по неподвижной окружности радиуса R. Тем самым, ускорение точки А есть центростремительное ускорение, направленное к центру колеса.

Вычисления очень просты. В этой системе отсчёта компонента скорости υ_y остаётся неизменной, а υ_x уменьшается на V:

Дифференцируя по времени, найдём компоненты ускорения:

Сравнивая компоненты ускорения с проекциями радиуса-вектора R:

R_x = x – R = –R sin ,

R_y = y – R = –Rcos ,

видим, что проекции этих векторов пропорциональны друг другу и отличаются знаками, т.е. вектор ускорения направлен навстречу вектору R (см. рис. 1.10).

Задача 1.6. Спортсмены бегут колонной длины L со скоростью υ. Навстречу колонне бежит тренер со скоростью u < υ. Каждый из спортсменов, поравнявшись с тренером, поворачивает назад и продолжает бежать с прежней скоростью υ. Какой будет длина колонны L' после того, как последний спортсмен поравняется с тренером?

Решение. Решать задачу проще всего в системе отсчёта, связанной с тренером. В этой системе спортсмены приближаются к тренеру со скоростью υ + u, а удаляются от него со скоростью υ – u. Тогда время t, за которое колонна пробежит мимо тренера равно:

t = L/(υ + u).

Но за это время голова колонны удалится от тренера на расстояние, равное новой длине колонны:

.

Задача 1.7. Как показывают астрономические наблюдения, в видимой нами части Вселенной звёзды удаляются от Солнца со скоростями, пропорциональными расстоянию до Солнца: v = ar. Как будет выглядеть движение звёзд, если рассматривать его, находясь на какой-либо другой звезде?

Решение. Пусть Солнце расположено в точке О. Пусть в качестве новой системы отсчёта выбрана звезда О, положение которой относительно Солнца задаётся радиусом-вектором R. Пусть, кроме того, мы наблюдаем за движением некоторой звезды А, положение которой относительно Солнца задаётся радиусом-вектором r. Тогда положение этой же звезды относительно новой системы отсчёта задаётся радиусом-вектором r' = r – R (рис. 1.11). Тогда согласно условию задачи звезда А удаляется от Солнца со скоростью V=ar, а звезда О' – со скоростью U = ar'. Согласно правилу сложения скоростей:

V = V' + U.

Следовательно, скорость V' звезды А относительно звезды О равна:

V' = V – U = a(r – R) = a r'.

Полученный результат означает, что и в новой системе отсчёта звёзды удаляются друг от друга со скоростями, пропорциональными расстоянию между ними.

Рис. 1.11