9. Колебания

1. Колебательное движение отличает большая или меньшая степень повторяемости. Предельная полная повторяемость – это периодический процесс, зависимости характеристик которого от времени описываются периодическими функциями вида , где Т – период.

2. Особую роль в физике играет периодическое движение, в котором координаты тела изменяются со временем по закону

x(t) = A cos (t + ), (9.1)

где А, ,  – некоторые константы (причем А и  положительные). Такое движение называется гармоническими колебаниями. Причина такой «особости» гармонических колебаний в том, что всякий периодический процесс можно представить как сумму (возможно, бесконечную) гармонических колебаний.

3. Величина А называется амплитудой гармонических колебаний, она определяет размах колебаний: |x(t)|  A,  – частота колебаний, связана с их периодом T соотношением:

(9.2)

Аргумент косинуса t +  называется фазой колебания,  – начальная фаза (в момент t = 0).

4. Скорость и ускорение тела , совершающего гармонические колебания, также изменяются по гармоническому закону:

(9.3)

5. Последнее из уравнений показывает, что сила F_х = ma, действующая на тело, совершающее гармонические колебания, зависит от координат тела:

F_х = – m²x,

или, обозначая k = m²:

F_х = – k x. (9.4)

Силы такого типа принято называть квазиупругими (т.е. похожими на упругие). Результат (9.4) можно трактовать иначе: если F_x =– kх, то собственная частота колебаний тела связана с массой тела m и коэффициентом k следующим образом:

.

6. Зависимость потенциальной энергии тела U(x), совершающего гармонические колебания, от координаты тела х получается из (9.4):

7. Второе из соотношений (3) можно записать в виде:

(9.5)

Это уравнение называют уравнением гармонических колебаний, решением которого, как видим, является (9.1). Отметим, что частота колебаний определяется коэффициентом при х, а что касается амплитуды и начальной фазы колебаний, то они определяются начальным положением тела и его начальной скоростью.

8. Так как сила, действующая на тело, совершающее гармонические колебания, консервативна, то при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения энергии:

Если продифференцировать это уравнение по времени, то вновь придём к уравнению гармонических колебаний. Этот способ вывода уравнения колебаний часто используется в задачах.

Поскольку энергия сохраняется, то найдя её в момент наибольшего отклонения тела от положения равновесия, когда х = А, получим

Как видим, энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

9. При наличии силы трения, пропорциональной скорости υ тела, F_тр = – υ, уравнение колебаний имеет вид:

(9.6)

где 2 = /m – величина, характеризующая силу трения и называемая коэффициентом затухания. Решение уравнения (6) имеет вид:

(9.7)

Как видим, такое движение тела можно приближенно рассматривать как гармоническое колебание с экспоненциально уменьшающейся амплитудой. В точном смысле такой процесс не является ни гармоническим колебанием, ни периодическим процессом. Такие колебания называют затухающими. Частота затухающих колебаний  оказывается несколько меньше, чем в отсутствие трения, что вполне понятно, поскольку трение замедляет движение тела.

10. Если кроме силы (9.3) и силы трения на тело действует еще и внешняя гармоническая сила F(t) = F₀ cost, то уравнение движения тела имеет вид:

.

Движение, которое будет совершать тело в данном случае, представляет собой сумму (суперпозицию) колебаний: затухающего и вынужденного, т.е. вызванного внешней силой. По истечении достаточно большого времени после начала колебаний (t >> 1) затухающие колебания прекратятся, и тело будет совершать гармонические колебания с частотой внешней силы  и амплитудой, зависящей от величины внешней силы и её частоты:

.

Отметим, что энергия установившегося вынужденного колебания постоянна, хотя колеблющееся тело непрерывно поглощает энергию (от источника внешней силы), которая превращается в тепло благодаря наличию трения.

Если изменять частоту внешней силы , то будет изменяться и амплитуда вынужденных колебаний, причем она имеет максимум при частоте внешней силы _рез:

.

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте внешней силы, совпадающей с резонансной частотой _рез, называется резонансом.

11. Материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, называется математическим маятником. Частота его малых колебаний определяется лишь длиной маятника и ускорением свободного падения:

где l – длина нити.

12. Твердое тело, совершающее колебания в вертикальной плоскости вокруг неподвижной точки или горизонтальной оси под действием силы тяжести, называется физическим маятником. Частота его малых колебаний:

где m – масса тела, d – расстояние от оси вращения до центра масс тела, I – момент инерции тела относительно оси вращения.

Период колебаний физического маятника совпадает с периодом колебаний математического, если длина последнего l_привед определяется следующим равенством:

Ее называют приведенной длиной физического маятника.

Задача 9.1. Частица массой т совершает гармонические колебания с частотой . В начальный момент частица находилась в точке с координатой х₀ и двигалась со скоростью υ₀. Найти амплитуду и начальную фазу колебаний.

Решение. Согласно условию задачи

x(t) = Acos(t +).

Начальные условия дают

x(0) = A cos ,

(0) = – Asin .

Разделив второе уравнение на первое, получим:

.

Разделив второе уравнение на , и возведя оба уравнения в квадрат, а затем, сложив их, получим:

.

Задача 9.2. Стержень массы m и длины l подвешен за два конца нитями в точке О (рис. 9.1, а). Расстояние от точки подвеса до стержня равно h. Найти частоту колебаний этого маятника. Как изменится частота, если нити будут параллельны друг другу (рис. 9.1,б)?

а б

Рис. 9.1

Решение. В случае на рис. 9.1,а мы имеем дело с физическим маятником, частота колебаний которого

Момент инерции вычисляем по теореме Штейнера:

где ml²/12 – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс. Окончательно получаем:

(1)

В случае на рис. 9.1, б стержень совершает поступательное движение, т.е. никакого вращения нет. Можно поэтому предположить, что стержень колеблется как математический маятник длины h, т.е. его частота:

(2)

Результат (2) является не более чем догадкой, но его можно получить и строгим путём, если учесть, что колебания незатухающие, а потому полная энергия тела остаётся постоянной. Энергия, в свою очередь, равна сумме кинетической энергии поступательно движущегося тела и потенциальной энергии. Если положение стержня характеризовать с помощью  – угла отклонения нитей от вертикали, то его скорость

.

Потенциальную энергию будем отсчитывать от уровня подвеса нитей, тогда

U = – mghcos.

Таким образом, энергия маятника

.

Так как Е = const, то dE/dt = 0, откуда получаем

(3)

Если угол отклонения мал (||<<1), то sin  = , и из (3) получаем уравнение гармонических колебаний:

.

Как видно из полученного уравнения, частота колебаний действительно совпадает с частотой колебаний математического маятника: .

Задача 9.3. Найти частоту колебаний поплавка на воде, если он плавает в воде в вертикальном положении, его масса т, площадь поперечного сечения S (рис. 9.2). Каким должен быть поплавок, имеющий малую амплитуду колебаний при наличии волн на поверхности воды?

Рис. 9.2

Решение. В положении равновесия сила тяжести уравновешена силой Архимеда. Но если поплавок сместить из положения равновесия, то векторная сумма F силы Архимеда и силы тяжести будет отлична от нуля и направлена навстречу перемещению поплавка, т.е. при его погружении она направлена вверх, при подъёме из воды – вниз. Поэтому эту сумму сил можно записать в виде

F_x = – gSx,

где х – смещение поплавка из положения равновесия (при погружении x > 0), а  – плотность воды.

Соответственно, уравнение движения поплавка массы m имеет вид

та_x = – gSx.

Записав ускорение как вторую производную по времени от перемещения поплавка, получим уравнение

.

Рис. 9.3

Поделив обе части уравнения на массу поплавка и перенеся все члены уравнения в одну сторону, получим уравнение гармонических колебаний

.

Коэффициент перед х даёт квадрат частоты колебаний:

.

Полученный ответ показывает, что лучший поплавок для рыбной ловли, который остаётся практически неподвижным при наличии волн на воде, должен иметь малое поперечное сечение и большую массу (рис. 9.3). В этом случае частота его колебаний будет малой по сравнению с частотой колебаний волн на воде. Это приводит к малой амплитуде колебаний поплавка под действием волн. Обоснуйте сами эти выводы, а для подсказки обратитесь к п.10 введения к данному разделу.

Задача 9.4. Найти период колебаний маятника, находящегося на тележке, которая движется с ускорением а.

Рис. 9.4

Решение. В системе отсчёта, которая движется вместе с тележкой, на маятник помимо силы натяжения нити и силы тяжести, действует ещё и сила инерции – ma (рис. 9.4). Сила инерции пропорциональна массе тела, однородна и поэтому ничем не отличается от силы тяжести. И в этом смысле можно рассматривать эту силу как добавочную силу тяжести. Иными словами, в системе отсчёта, связанной с тележкой на маятник действует сила тяжести:

,

величина соответствующего ускорения "свободного падения"

.

Тем самым частота колебаний маятника

.

Рис. 9.5

Задача 9.5. Тело массы т движется по горизонтальному гладкому стержню, к концам которого оно прикреплено двумя невесомыми одинаковыми пружинами жёсткости k. Стержень вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью  (рис. 9.5). Найти частоту  колебаний тела относительно его равновесного положения.

Решение. Перейдём в систему отсчёта связанную со стержнем. Здесь на тело действуют упругая и центробежная силы:

.

Как видим, сила пропорциональна отклонению тела от положения равновесия. Следовательно, тело совершает гармонические колебания с частотой :

Нетрудно понять, что колебания будут иметь место лишь при малой скорости вращения, пока подкоренное выражение положительно:

Подумайте сами, что произойдёт при нарушении этого неравенства.

Задача 9.6. Найти частоту малых колебаний относительно равновесного положения тела из задачи 8.6.

Решение. В ходе решения задачи 8.6 мы получили выражение для потенциальной энергии шарика в системе отсчета, вращающейся вместе с шариком:

.

Рис. 9.6

Потенциальная энергия U, как мы видели, имеет минимум, положение которого зависит от величины угловой скорости . Если шарик получил, небольшой толчок, так что угол  получил приращение  (||<<1), то шарик начнет колебаться вблизи своего равновесного положения (рис. 9.6). Напомним, что мы рассматриваем движение шарика в неинерциальной системе отсчета, вращающейся вместе с шариком вокруг вертикали. В неподвижной системе отсчета движение шарика будет суммой равномерного вращения вокруг вертикальной оси и колебаний в вертикальной плоскости. Чтобы найти частоту этих малых колебаний, разложим по формуле Тейлора потенциальную энергию шарика по степеням  до величин второго порядка включительно. Такое разложение, как известно, имеет вид:

В нашем случае первая производная от U равна нулю, так как в положении равновесия U() имеет минимум, поэтому разложение начинается с члена второго порядка по :

Вычисляя вторую производную от U, получим

.

Нам нужно найти вторую производную в положении равновесия, которое зависит от величины угловой скорости:

.

В первом случае, когда ²< g/l, получаем

(1)

а во втором, когда ² > g/l:

(2)

С учётом полученных выражений запишем потенциальную энергию в окрестности положения равновесия:

Здесь k₁² и k₂² – правые части соотношений (1) и (2).

При колебаниях шарик движется по дуге окружности радиуса l (см. рис. 9.6), поэтому его скорость υ = ld/dt. Кинетическая энергия шарика тогда запишется как

(3)

Поскольку энергия шарика Е остается постоянной, то dE/dt = 0, откуда, с помощью (1)–(3) получаем уравнения колебаний шарика:

Поделив их на ml², придем к уравнениям гармонических колебаний:

где частоты колебаний ₁ и ₂ согласно (1) – (2):

Задача 9.7. В одном из фантастических проектов предлагалось построить железнодорожный тоннель для скоростных поездов, которые бы двигались под действием одной только силы тяжести. Для этого тоннель, идущий под землёй должен быть прямым. Найдите время движения поезда от одного конца тоннеля до другого, пренебрегая всеми силами сопротивления.

Рис. 9.7

Решение. В задаче 2.8 была найдена сила тяготения, действующая на тело массы т, находящееся внутри Земли на расстоянии r от её центра: .

Выберем начало координат в середине тоннеля и проведём ось координат ОХ вдоль тоннеля (Рис. 9.7). Пусть поезд находится на расстоянии х от середины тоннеля. Тогда проекция силы тяжести на направление оси ОХ равна:

.

Как видим, эта сила пропорциональна расстоянию х между телом и центром тоннеля и направлена к центру тоннеля, т.е. к положению равновесия. Но такая сила приводит к гармоническим колебаниям тела с частотой:

.

Время движения поезда от одного кон­ца тоннеля до другого равно половине периода колебаний:

Задача 9.8. Оценить время соударения футбольного мяча со стенкой при слабом ударе.

Рис. 9.8

Решение.

Пусть избыточное давление внутри мяча равно р. При соприкосновении мяча со стенкой мяч деформируется, и область соприкосновения представляет собой круг. Пусть радиус этого круга в некоторый момент равен r, величина деформации, соответственно х. Тогда эти величины связаны между собой (рис. 9.8):

.

Здесь мы использовали условие слабого удара: |x|<<R.

Площадь круга, в пределах которого мяч соприкасается со стенкой, равна:

S = r² = 2Rx.

Сила давления со стороны мяча на стенку равна pS. Согласно третьему закону Ньютона с такой же силой, стенка действует на мяч:

F = – 2Rрx.

Как видим, сила является квазиупругой, поэтому движение мяча во время соприкосновения со стенкой будет гармоническим колебанием.

Время удара  равно половине периода этого колебания:

.

Принимая массу мяча т = 0,4 кг, радиус R = 12 см, избыточное давление внутри мяча р = 10⁴ Па (0,1 атм), найдём

Рис. 9.9

Задача 9.9. На гладком столе находится коробка массы М, внутри которой находится тело массы т. Это тело прикреплено к коробке двумя одинаковыми пружинами жёсткости k/2 (рис. 9.9). Найти частоту колебаний этой системы пренебрегая силами трения.

Решение. Если груз сместится относительно стола на расстояние х, а коробка на расстояние Х, то левая пружина растянется на х – Х, а правая настолько же укоротится. Тем самым на груз будет действовать сила – k(х – Х), а согласно третьему закону Ньютона на коробку будет действовать сила той же величины, но имеющая противоположное направление. Тогда уравнения движения груза и коробки будут такими:

(1)

Если разделить первое из этих уравнений на т, а второе – на М, и вычесть из первого уравнения второе, то придём к уравнению:

,

которое является уравнением гармонических колебаний для у = х – Х:

.

Квадрат частоты колебаний есть коэффициент перед у, откуда сама частота

.

Если сложить оба уравнения системы (1), то получим

.

Это уравнение можно записать как

,

или

.

Полученное уравнение представляет собой закон сохранения импульса: импульс груза и коробки остаётся постоянным.

Задача 9.10. По вогнутой цилиндрической поверхности радиуса R катается цилиндр радиуса r. Найти частоту малых колебаний цилиндра, если он движется без проскальзывания.

Решение. Поскольку движение происходит без проскальзывания, то сила трения работы не совершает (см. обсуждение этого факта в задаче 7.10). Поэтому энергия цилиндра сохраняется. Вычислим ее. Рассмотрим движение цилиндра в произвольный момент времени, считая, что скорость его центра инерции равна V, а угол между вертикалью и радиусом-вектором, проведенным из О в О' равен  (рис. 9.10). В этот момент потенциальная энергия цилиндра есть:

U = – mg(R – r)cos.

Здесь мы отсчитываем высоту, на которой находится центр масс цилиндра от точки О. Кинетическая энергия цилиндра в этот же момент времени

Рис. 9.10

где т – масса цилиндра, I – момент инерции цилиндра относительно его оси,  – угловая скорость вращения цилиндра. Свяжем V и , учитывая, что цилиндр катится без проскальзывания. Скорость можно записать как r, так как мгновенная ось вращения цилиндра совпадает с линией касания цилиндра с поверхностью, по которой он движется. Итак:

С другой стороны, можно записать:

так как центр инерции цилиндра движется по окружности радиуса R–r с центром в точке O. Выразив V и  через d/dt, окончательно получаем для энергии цилиндра:

Дифференцируя это равенство по времени, получаем:

.

После сокращений получим:

Считая колебания малыми, т.е. ||<<1, можем полагать sin = , и тогда приходим к уравнению гармонических колебаний

Коэффициент при  есть квадрат частоты этих колебаний, соответственно, частота равна

Учитывая, что I = тr²/2, окончательно находим: .

Сергей Григорьевич Лисицын

МЕХАНИКА В ЗАДАЧАХ

Редактор Е.Н. Кочубей

Подписано в печать 00.00.2011. Формат 60х84 1/16.

Уч.-изд. л. 9,5. Печ. л. 9,5. Тираж экз.

Изд. № . Заказ №

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Типография НИЯУ МИФИ. 115409, Москва, Каширское ш., 31

1 Здесь выбор систем отсчёта пока ограничен лишь такими системами отсчёта, которые не вращаются одна относительно другой.

1 Фактически мы доказали известную теорему о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 1:2.

1 Произведение Fdt называют импульсом силы. Таким образом, изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело.

1 Любители строгих выводов могут убедиться, что и в самом общем случае результат тот же:

0