20.1. Надежность в период постепенных отказов.

Для постепенных (износовых) отказов справедлив закон рас­пределения, который дает вначале низкую плотность вероятности отказов, затем максимум и далее падение, связанное с уменьшени­ем числа элементов, оставшихся работоспособными. Наиболее универсальным, удобным и широко применяемым для практиче­ских расчетов является нормальное распределение.

Плотность распределения:

Распределение имеет два независимых параметра: среднюю на­работку до отказа (математическое ожидание):

и среднее квадратическое отклонение

Рассеяние случайных величин удобно также характеризовать дисперсией D = S² и коэффициентом вариации

Так как интегральная функция распределения равна:

,

то вероятность отказа и вероятность безотказной работы соответст­венно равны:

Q(t)=F(t);

P(t)=1-F(t)

Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц для так называемого центрированного и нормированного распределе­ния, в котором m_tx=0 и S_Х=1. Для этого распределения функция плотности:

имеет одну переменную х. Функцию плотности распределения за­писывают в относительных координатах с началом на оси симмет­рии петли.

Функция распределения представляет собой интеграл от плот­ности распределения:

Из этого уравнения следует:

F₀(x)+F₀(-x)=1

откуда

F₀(-x)=1-F₀(x)

Плотность распределения, вероятность отказа и вероятность безотказной работы определяют по формулам:

Q(t)=F₀(t);

P(t)=1-F₀(t)

где - квантиль нормированного нормального распределения, обычно обозначаемая U_P; f₀(x) и F₀(x) берут по таблицам. Например:

Таблица 20.1

x=UP	0	1	2	3	4
f0(x)	0,3989	0,2420	0,0540	0,0044	0,0001
F0(x)	0,5	0,8413	0,9772	0,9986	0,9999

В табл. 20.1 приведены значения P(t) в зависимости от

Значение времени t при заданной вероятности безотказной работы P(f) определяют по зависимости:

Часто вместо интегральной функции распределения F₀(x) используются функцией Лапласа:

В этом случае:

Вероятность отказа и вероятность безотказной работы:

;

.

совместном действии внезапных и постепенных отказов вероятность безотказной работы изделия за период t, если до этого оно проработало время Т, равно:

,

где P_B(t)=e^-t— вероятность отсутствия внезапных отказов;

— вероятность отсутствия постепенных отказов.

Существуют и другие распределения случайной величины: логарифмически нормальное распределение, в котором по нормальному закону распределяется логарифм наработки, гамма- распределение, распределение Вейбулла, являющееся довольно универсальным, охватывающим путем варьирования параметров широкий диапазон случаев изменения вероятностей. Однако опе­рирование этими распределениями сложнее.

20.2. Надежность сложных систем.

Мехатронный модуль представляет собой сложную систему, со­стоящую из множества различных элементов, соединенных между собой различными способами. Поэтому расчет надежности ММ проводят с учетом надежности составляющих его элементов и схе­мы их соединения.

П ри последовательном соедине­нии независимых элементов (рис. 20.1) отказ одного элемента приво­дит к отказу всей системы.

Вероятность безотказной работы системы при последовательном со­единении элементов равна произведению вероятностей безотказной работы ее отдельных:

, (20.1)

где P_i(t) — вероятность безотказной работы i-го элемента системы. Если

P₁(t)= P₂(t)=… =P_m(t)= P(t)

то

P_(t)= Pⁿ(t)

Обычно вероятность безотказной работы элементов достаточно высокая. Поэтому, выразив P_{{i) = l-Q.(t) и подставив в формулу (20.1), после преобразований и отбрасывания произведений малых величин, получим:

При

Q₁(t)= Q₂(t)=… =Q_n(t)= Q(t),

будем иметь:

Рис. 20.2

Надежность сложных систем с последовательным соединением элементов низкая. Например, при числе элементов системы n=10 с вероятностью безотказной работы каждого элемента Р (t)=0,9 (как подшипниках качения), общая веро­ятность безотказной работы системы равна:

P_(t)= P_n(t)=0,9¹⁰0,35

При параллельном соединении не­зависимых элементов (рис. 20.2) отказ системы происходит при отказе всех включенных параллельно элементов. В этом случае вероятность безотказной работы равна:

Если

P₁(t)= P₂(t)=… =P_n(t)= P(t)

то

При тех же данных, что и в примере для последовательного со­единения элементов вероятность безотказной работы при парал­лельном соединении элементов равна: