4. Геометрический расчет передачи.

Расчет геометрических пара­метров реечной передачи начинают с определения делительного диаметра шестерни.

Рассмотрим преобразование вращательного движения шестер­ни в поступательное движение рейки (рис. 13.1). Исходными дан­ными для расчета передачи являются: сила сопротивления F₂ на рейке, перемещение Н₂ и линейная скорость v₂ рейки. В этом случае делительный диаметр шестерни 1 на основании условия (13.1) равен, мм:

(13.5)

Делительный диаметр шестерни можно также найти из условия контактной прочности зубьев, мм:

(13.6)

где К_d - коэффициент равный для прямозубых передач 1,12, для косозубых передач -1,0; F₂ - сила сопротивления на рейке, Н; К_H - коэффициент, учитывающий неравномерность нагрузки по ши­рине зуба, определяют по таблице 4.8; _bd - коэффициент шири­ны зубчатого венца, равный 0,2... 1,6. В мехатронных модулях жела­тельно принимать _bd =0,2...0,8; E_пр - приведенный модуль упруго­сти материалов шестерни и рейки, МПа:

Е₁ и Е₂ - модули упругости первого рода материалов шестерни и рейки соответственно, МПа; []_н — допускаемое контактное на­пряжение, МПа, определяемое по формуле (13.3).

Для обеспечения требуемого передаточного отношения необхо­димо, чтобы делительный диаметр шестерни, полученный по фор­муле (13.5), был больше делительного диаметра, найденного по формуле (13.6). Этого можно достичь, применяя соответствующие материалы и варьируя коэффициентом _bd.

Вращающий момент на шестерне, Нмм: Т₁ = F₂d₁/2.

Иногда более удобным является способ, когда значение дели­тельного диаметра d₁ шестерни, полученное по формуле (13.5), под­ставляют в зависимость (13.6) и находят значение допускаемого контактного напряжения:

Затем по формуле (13.3) вычисляют предел контактной вынос­ливости поверхностей зубьев:

и используя табл. 13.2 определяют твердость материала зубьев.

Коэффициент долговечности K_hl ^b первом приближении оп­ределяют при базовом числе циклов изменения напряжений N_H0 = 10⁷ циклов.

После нахождения твердости материала методом последова­тельных приближений, используя табл. 13.3, находят более точные значения N_H0> K_hl и НВ или HRC.

Например, для стали, подвергнутой нормализации, улучшению

Откуда

Если окажется, что полученная твердость HB350, то использо­ванная формула для расчета твердости верна. Если твердость НВ>350, то для ее вычисления необходимо взять из табл. 4.2 сле­дующую формулу:

Откуда

Далее по табл. 4.1 находят марку стали, вид ее термообработки и механические характеристики.

Следует отметить, что при таком расчете для изготовления шестерни и рейки исключается группа сталей, твердость которых меньше расчетной.

Определяем модуль зубьев (для косозубых передач — нормаль­ный модуль) из условия изгибной прочности зубьев:

(13.7)

где коэффициент К_т равен для прямозубых колес 6,6; косозубых -5,8; шевронных — 5,2.

Полученное значение модуля зубьев округляют до стандартного значения (табл. 13.4).

Таблица 13.4

Значения модуля т, мм

1-й ряд	0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,8; 1,0; 1,25; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0; 8,0; 10,0
2-й ряд	0,22; 0,28; 0,35; 0,45; 0,55; 0,7 0,9; 1,125; 1,375; 1,75; 2,25; 2,75; 3,5; [4,5; 5,5; 7; 9

Находим число зубьев шестерни

(13.8)

где - угол наклона зубьев, град.

Полученное значение числа зубьев округляют до целого и уточняют делительный диаметр шестерни

перемещение рейки, ее скорость и передаточное отношение.

По значению линейной скорости рейки (окружной скорости шестерни) назначают степень точности реечной передачи (табл. 4.5)

Для шестерни, нарезанной без смещения, диаметр окружности вершин зубьев, мм:

d_а1 =d₁ + 2m,

диаметр окружности впадин зубьев, мм:

d_f1 = d₁ - 2,5m.

Толщина зуба шестерни по делительной окружности, мм, рав­ная толщине зуба рейки по средней прямой, мм:

S₁ = S₂ = 0,5 m.

Нормальный шаг зубьев шестерни и рейки, мм:

Р₁ = Р₂ = m.

Для косозубой передачи - торцовый шаг, мм:

Минимальная длина нарезанной части рейки, мм:

L_2min=H₂+(2...4)P_t2.

Минимальное число зубьев рейки:

(13.9)

Число зубьев рейки округляют до целого значения.

Уточняют минимальную длину нарезанной части рейки

L_2min=(z_2min -0,5)P_t2. (13.10)

Ширина зубчатого венца рейки, мм:

b₂=_bdd₁

Ширина шестерни, мм:

Размеры поперечного сечения рейки можно определить из ус­ловия прочности при растяжении (сжатии):

Таблица 13.5

Степень точности реечных зубчатых передач

Степень точности не ниже	Скорость рейки не более,		Примечание
	прямозубая	косозубая
6 (высоко­точная)	15	30	Высокоточные передачи, механизмы точной механики, мехатроники и робо­тотехники
7 (точная)	10	15	Скоростные передачи при умеренных нагрузках, высоконагруженные переда­чи при высоких скоростях
8 (средней точности)	6	10	Передачи общего назначения в маши­ностроении, не требующие особой точ­ности
9 (понижен­ной точно­сти)	2	4	Тихоходные передачи с пониженными требованиями к точности

Откуда площадь поперечного сечения рейки равна:

(13.11)

где []_р — допускаемое напряжение растяжения материала рейки; _ТР — предел текучести материала рейки при растяжении; [n]_ТР - допускаемый коэффициент запаса по текучести при растяжении, равный 1,5.. .2,0.

Задаваясь формой поперечного сечения рейки можно найти ее размеры.

Если поперечное сечение рейки прямоугольное с шириной зубчатого венца b₂, то ее толщина будет равна:

Рейку проверяют на устойчивость по формулам Л. Эйлера или Ф.А. Ясинского.

Проверить рейку (или винты) на устойчивость можно также с помощью коэффициента  понижения допускаемого напряжения. При этом расчет на устойчивость заменяют расчетом на сжатие, но со сниженным допускаемым напряжением:

Коэффициент  определяют по табл. 13.6.

Таблица 13.6

Значения коэффициента 

	Материал
	Ст.0, Ст.1,Ст.2,Ст.З,Ст.4	Ст.5
0	1,00	1,00
10	0,99	0,98
20	0,96	0,95
30	0,94	0,92
40	0,92	0,89
50	0,89	0,86
60	0,86	0,82
70	0,81	0,76
80	0,75	0,70
90	0,69	0,62
100	0,60	0,51
110	0,52	0,43
120	0,45	0,36
130	0,40	0,33
140	0,36	0,29
150	0,32	0,26
160	0,29	0,24
170	0,26	0,21
180	0,23	0,19
190	0,21	0,17
200	0,19	0,16

В случае невыполнения условия устойчивости, толщину рейки необходимо увеличить.

Рассмотрим преобразование поступательного движения рейки во вращательное движение шестерни (рис. 13.2). Исходными дан­ными для расчета являются: момент сопротивления на шестерне Т₁, угол поворота ₁ и угловая скорость w₁ шестерни. Расчет геометрических параметров передачи начинают с определения делительного диаметра шестерни, мм

(13.12)

Также делительный диаметр шестерни можно найти из условия контактной прочности зубьев, мм:

(13.13)

где Т₁ — момент сопротивления на шестерне, Нмм.

Требуемое передаточное отношение можно выполнить, если делительный диаметр шестерни, найденный по формуле (13.12), больше делительного диаметра, полученного по формуле (13.13). Этого достигают, применяя соответствующие материалы и изменяя коэффициент _bd.

Также можно использовать методику, предложенную для рас­чета реечной передачи при преобразовании вращательного движе­ния шестерни в поступательное движение рейки.

В рассматриваемом случае допускаемое контактное напряже­ние равное:

Осевая сила, действующая на рейку, Н:

(13.14)

Модуль зубьев (для косозубых передач — нормальный модуль), мм: