Задача 3 Условие:

За некоторый промежуток времени потребление основного вида топлива (мазута) на ТЭЦ в зависимости от качества составляет 12, 14 или 16 весовых единиц. Мазут можно закупить по оптовой цене, равной 4 ден. ед. за весовую единицу мазута. Если для обеспечения заданной температуры теплоносителя объема приобретенного мазута окажется недостаточно, то можно закупить недостающее количество мазута по розничной цене, равной 6 ден. ед. за весовую единицу мазута. Если же запас мазута превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 1 ден. ед. в расчете на единицу веса мазута.

Требуется:

1 Придать описанной ситуации игровую схему. Выявить участников игры и установить их характер. Указать допустимые стратегии сторон;

2 Вычислить элементы платежной матрицы;

3 Дать обоснованные рекомендации об уровне запаса мазута, при котором совокупные затраты на приобретение, содержание и хранение мазута будут минимальными при следующих предположениях:

а) вероятности , , потребности мазута в количестве 12, 14, 16 весовых единиц известны. Найти оптимальную чистую стратегию, пользуясь критерием Байеса;

, ,

б) вероятности потребности мазута в количествах 12, 14, 16 весовых единиц одинаковы. Найти оптимальную чистую стратегию, пользуясь критерием Лапласа;

в) о вероятностях потребления мазута в количествах 12, 14, 16 весовых единиц ничего определенного сказать нельзя. Найти оптимальные чистые стратегии, пользуясь критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (величина параметра в критерии Гурвица задается).

Решение:

1. В рассматриваемой ситуации в качестве статистика А выступает руководство ТЭЦ, заинтересованное в минимизации затрат на приобретение мазута. Вторым игроком является «природа» – совокупность объективных факторов, благодаря которым потребление мазута может быть различным.

Приобретая мазут, руководство ТЭЦ может ориентироваться на его потребление: либо 12 весовых единиц (первая чистая стратегия ), либо 14 (вторая чистая стратегия ), либо 16 (третья чистая стратегия ).

«Природа» (совокупность объективных неопределенных факторов) может реализовать состояния , и – необходимое потребление мазута 12, 14 и 16 весовых единиц соответственно.

Таким образом, платежная матрица статистической игры будет иметь размерность 3x3.

2 «Выигрышами» статистика А будут затраты, связанные с реализацией стратегий , и , которые являются элементами платежной матрицы. Рассчитаем их.

Элемент соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 12 весовых единиц мазута и столько же потребовалось для отопительного сезона. Т.к. оптовая цена мазута равна 4 ден. ед. за весовую единицу, то затраты составят ден. ед. Следовательно, .

Элемент соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 12 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 14 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 4 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 14 весовых единиц мазута затраты составят ден. ед. На закупку недостающих 14-12=2 весовых единицы мазута по розничной цене, равной 6 ден. ед. за весовую единицу, затраты составят ден. ед. Следовательно, .

Элемент соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 12 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 16 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 4 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 12 весовых единиц мазута затраты составят ден. ед. На закупку недостающих 16–12=4 весовых единиц мазута по розничной цене, равной 6 ден. ед. за весовую единицу, затраты составят ден. ед. Следовательно, .

Элемент соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 14 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 12 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 4 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 14 весовых единиц мазута затраты составят ден. ед. Запас мазута превысит потребности на 14–12=2 весовых единицы, затраты на хранение которых составят ден. ед. (стоимость хранения весовой единицы мазута равна 1 ден. ед.). Следовательно, .

Платежная матрица игры представлена в таблице:

	(12)	(14)	(16)
(12)	–48	–60	–72	–72
(14)	–58	–56	–68	–68
(16)	–68	–66	–64	–68
	–48	–56	–64
	0,3	0,3	0,4

3 Для определения оптимальной стратегии воспользуемся различными критериями.

а) Оптимальной по критерию Байеса будет чистая стратегия , т.к. именно при ней средний выигрыш достигает максимального значения:

и

.

б) Оптимальной по критерию Лапласа будет чистая стратегия , т.к. именно при ней средний выигрыш достигает максимального значения:

и

.

в) Оптимальной по критерию Вальда будет чистые стратегии ^и , т.к. именно при них наименьший выигрыш статистика будет максимальным (см. таблицу 4.5).

.

г) Чтобы воспользоваться критерием Сэвиджа, составим матрицу рисков с элементами .

	(7)	(8)	(9)
(7)	0	4	8	8
(8)	10	0	12	12
(9)	20	10	0	20

Так,

и т.д.

Оптимальной по критерию Сэвиджа будет чистая стратегия , т.к. именно при ней максимальный риск будет минимальным

.

д) Оптимальной по критерию Гурвица будет чистая стратегия , т.к. именно при ней величина

достигает максимального значения:

и

.

Проведенное исследование по совокупности критериев показало, что чаще других оптимальной называлась чистая стратегия . Правомерно ее и рекомендовать руководству ТЭЦ для реализации, т.е. закупить 12 весовых единиц мазута.