Задача 2 Условие:

Определить план производства продукции двух видов (т.), максимизирующий прибыль (руб.),

И выручку от реализации продукции (руб.)

при ограничениях на расход ресурсов

методом равных наименьших относительных отклонений.

Решение.

Решим задачу методом равных наименьших относительных отклонений.

Определим максимальную величину прибыли при ограниченных ресурсах. Для этого решим графически задачу

Построим область допустимых значений, которая задается системой ограничений. Геометрической интерпретацией линейного ограничения является полуплоскость, ограниченная прямой. Запишем уравнения граничных прямых и для их построения найдем по две точки, лежащих на этих прямых:

1) , (10; 30), (40; 10);

2) , (30; 5), (20; 25).

3) , (40; 20), (15; 30).

Пересечением полуплоскостей является многоугольник ОАВСD (см. рисунок 1) – это область допустимых значений.

Графической интерпретацией целевой функции является множество линий уровня. Вектор-градиент , на чертеже изображен вектор координатами которого являются частные производные целевой функции по и , показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции. Линии уровня перпендикулярны вектору-градиенту. На чертеже обычно изображают одну из них, например .

Для определения точки, в которой целевая функция принимает наибольшее значение, перемещаем линию уровня в направлении вектора-градиента до тех пор, пока она займет крайнее положение в области допустимых значений. Для данной задачи это точка C.

Координаты точки C определяем из решения системы, составленной из уравнений прямых, пересекающихся в этой точке:

Решая систему, находим

Следовательно, точка C имеет координаты (21.25; 22.5). В этой точке значения целевых функций –

Итак, максимальная прибыль составляет 131.25руб. и достигается при выпуске 21,25 т продукции вида и 22,5 т. продукции вида

Определим максимальную величину выручки при ограниченных ресурсах. Для этого решим графически задачу

Графической интерпретацией целевой функции является множество линий уровня. Вектор-градиент , координатами которого являются частные производные целевой функции по и , показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции. Линии уровня перпендикулярны вектору-градиенту. На чертеже обычно изображают одну из них, например .

Для определения точки, в которой целевая функция принимает наибольшее значение, перемещаем линию уровня в направлении вектора-градиента до тех пор, пока она займет крайнее положение в области допустимых значений. Для данной задачи это точка D с координатами (32.5; 0). В этой точке значение целевой функции –

Итак, максимальная выручка составляет 812.5 руб. и достигается при выпуске 32,5 т продукции вида

Р исунок 1

Отрезок CD является областью компромиссов.

Запишем относительное отклонение для обеих функций.

_{Для построения дополнительного ограничения замещающей задачи приравняем отклонения , т.е.}

После упрощения этого выражения получим

Замещающая задача в соответствии с методом равных наименьших относительных отклонений будет иметь вид

Областью допустимых значений замещающей задачи является отрезок OF (см. рисунок 2). Максимальное значение целевой функции достигается в точке F. Координаты точки F определяем из решений системы, составленной из уравнений прямых, пересекающихся в этой точке.

Решив систему находим

Р исунок 2

Следовательно, точка D имеет координаты (24,9224; 15,1552) – это субоптимальное решение. Точка D принадлежит области компромиссов, следовательно, найденное решение эффективно. В этой точке целевые функции принимает значения:

Итак, по методом равных наименьших относительных отклонений план производства составит 24,9224 т продукции вида и 15,1552 т продукции вида . Прибыль будет равна 120,2328 руб., а выручка от реализации произведенной продукции составит 744,3016 руб.

Относительные отклонения составляют

_{Это означает, что обе целевые функции отклоняются от своих значений на 8,39%.}