2.2 . Метод ю.И. Соловьева

В 1962 г. Ю.И. Соловьев предложил при расчете устойчивости откосов, в таком же гипотетическом грунте, какой принимали Герсеванов и Терцаги, воспользоваться принципом возможных перемещений [ 2, 8, 22]. Поверхность скольжения при этом должна рассматриваться как поверхность контакта между клином обрушения и подстилающим грунтом, по которой на клин действуют односторонние силы связи и внешние касательные силы сцепления и трения (рис. 3). Коэффициент устойчивости склона по Ю.И. Соловьеву представляет собой отношение работ удерживающих и сдвигающих сил на перемещении, которое для всех отсеков имеет одинаковую горизонтальную составляющую u _о . Это означает, что при скольжении всего клина, он сохраняет сплошность и в нем отсутствуют разрывы, но могут происходить касательные смещения по вертикальным плоскостям, по которым, в соответствии с принятым предположением о свойствах гипотетического грунта, сопротивление сдвигу отсутствует. Возможные перемещения S , которые допускаются связями системы, будут происходить вдоль поверхности скольжения и для любого отсека будут равны:

S = u _о /cos α_i .

Рис. 3 . Метод Ю.И. Соловьева:

а - основная схема; б - учет фильтрационного давления

Как известно, принцип возможных перемещений гласит: необходимое и достаточное условие равновесия состоит в том, что сумма работ всех сил на виртуальных перемещениях системы должна быть равна нулю.

Напишем выражения работ сдвигающих и удерживающих сил на возможных (виртуальных) перемещениях:

работа сдвигающих сил

A _сдв = ∫ SdQ = ∫( u _о / cos α ) × P sin αdx ;

A _сдв = u _о ∫ P tg αdx ;                                                           ( 21)

работа удерживающих сил

A _уд = -∫ SdR = -∫( u _о / cos α )( P cos α tg φdx + c ( dx / cos α );

A _уд = - u _о ∫ ( P tg φ + c / cos ² α ) dx .                                       ( 22)

Поскольку в данном случае заранее известно, что система сдвигающих и удерживающих сил в общем случае неуравновешена, то для того, чтобы сумма работ этих сил на виртуальных перемещениях была равна нулю, необходимо сдвигающие силы увеличить в K _у раз, т.е. положить

K _у A _сдв + A _уд = 0.                                                             ( 23)

Безразмерный числовой множитель K _у в этом выражении и есть коэффициент запаса устойчивости. Принимая во внимание полученные выражения для работ удерживающих и сдвигающих сил, найдем

K _у = - A _уд / A _сдв =                                      ( 24)

Если применяется метод численного интегрирования с разбивкой призмы обрушения (оползневого блока) на конечное число элементов (отсеков), то работа удерживающих сил на возможных перемещениях для одного отсека будет равна:

A _{уд i} = ( u _о / cos α_i ) ( P_i cos α_itg φ_i + c_il_i ) = u _о ( P_i tg φ_i + c_il_i / cos α_i ),                 ( 25)

а работа сдвигающих сил для одного отсека будет равна:

A _{сдв i} = ( u _о / cos α_i ) ( P_i sin α_i + Q _{с i} ) = u _о ( P_i tg α _i + Q _{с i} / cos α_i ).                     ( 26)

Тогда коэффициент устойчивости склона по данному методу определится как отношение суммы работ удерживающих сил к сумме работ сдвигающих сил на возможных перемещениях:

                                        ( 27)

и при отсутствии грунтовых вод выразится формулой

                                     ( 28-а)

При обычном затоплении склона грунтовыми водами коэффициент устойчивости будет иметь следующее значение:

                                        ( 28-б)

Выведем эту же формулу для случая, когда на склоне проявляется гидродинамическое давление. Причем для примера примем, что наклон фильтрационной силы значительно отличается от наклона поверхности скольжения, в связи с чем требуется раздельно учитывать обе составляющие этой силы.

Вес грунта в каждом выделенном отсеке будем принимать с учетом взвешивания в воде (за минусом веса воды в данном отсеке между поверхностью скольжения и депрессионной кривой), но прибавлять к его нормальной составляющей величину проекции гидродинамического давления на нормаль к поверхности скольжения. Кроме того, к сдвигающим силам добавим проекцию гидродинамического давления на направление поверхности скольжения (см. рис. 3, б). Вес грунта с учетом взвешивания

P _{в i} = γ _i h _{ср. i} a_i - γ_ωh_ia_i ;

фильтрационное давление

j_i = γ _ω ω_ii_i = γ_ωh_ia_ii_i .

Его проекция на нормаль к поверхности скольжения:

γ_ωh_ia_ii_isin ( β _{ф i} - α_i ).

Его проекция на поверхность скольжения:

γ_ωh_ia_ii_icos ( β _{ф i} - α_i ).

С учетом этих сил выражения работ для каждого отсека будут:

A _{уд i} = ( u _о / cos α_i ) [ P _{в i} cos α_itg φ _{в i} + γ_ωh_ia_ii_isin ( β _{ф i} - α_i ) tg φ _{в i} + c _{в i} l_i ] = u _о {[ P _{в i} + γ_ωh_ia_ii_i ] tg φ _{в i} + c _{в i} l_i / cos α_i } ;

A _{сдв i} = ( u _о / cos α_i ) [ P _{в i} sin α_i + γ_ωh_ia_ii_icos ( β _{ф i} - α_i ) + Q_ci ] = u _о [ P _{в i} sin α_i / cos α_i + γ_ωh_ia_ii_i ( cos β _{ф i} cos α_i + sin β _{ф i} sin α_i )/ cos α_i + Q _{с i} / cos α_i ] = u _о [ P _{в i} + γ_ωh_ia_ii_isin β _{ф i} ] tg α_i + u _о ( γ_ωh_ia_ii_i cos β _{ф i} + Q _{с i} / cos α_i ) .

Тогда:

               ( 28-в)

Как видим, выражение для коэффициента устойчивости при учете гидродинамического давления получается сравнительно сложным. Поэтому, где это возможно, проще учитывать гидродинамическое давление, принимая направление его действия параллельным поверхности скольжения (без разложения на составляющие).

Необходимо также помнить, что, как указывалось выше, при разложении фильтрационных сил на направления вертикали и касательной к поверхности скольжения следует учитывать изменение градиента в различных направлениях. Это еще более усложнит расчет.

В 1969 г. М.Н. Гольдштейн [ 8] показал, что хотя по поверхности скольжения действуют силы трения, т.е. силы, не имеющие потенциала, тем не менее и в этом случае принцип возможных перемещений применим к рассматриваемой задаче. Действительно, в соответствии с формулировкой принципа возможных перемещений, данной Фурье для необратимых перемещений и пригодной также для сил, не имеющих потенциала, можно утверждать, что в состоянии предельного равновесия в равную нулю сумму работ на возможных перемещениях всех сил, действующих на систему, должны быть включены и силы трения, заменяющие действие внутренних связей, существовавших в системе до образования поверхности раздела в виде поверхности скольжения. Эти силы, естественно, должны быть полностью мобилизованы. Важное условие применимости к данной задаче принципа возможных перемещений заключается в том, что при рассмотрении всего клина обрушения не требовалось учитывать работу внутренних сил на относительных перемещениях отдельных его элементов. Но в случае гипотетического грунта Герсеванова и при условии, что отсеки являются жесткими, а их виртуальные перемещения не нарушают имеющихся кинематических связей, указанное условие выполняется. При этом очевидно, что либо поверхность скольжения должна быть круглоцилиндрической, либо пяты отсеков должны иметь форму, позволяющую им скользить по поверхности сдвига, не наклоняясь и не деформируясь (например, в виде дуг, соприкасающихся с поверхностью сдвига в одной точке).

Иногда проектировщики этим методом определяют оползневое давление, представляя его как разность между знаменателем и числителем в написанных формулах коэффициента устойчивости. Однако такое определение оползневого давления нельзя считать правильным, поскольку числитель и знаменатель выражения коэффициента устойчивости в данном случае есть не силы, а работы.