2.6. Основные законы распределения статистических оценок

Законов  распределения  статистических оценок достаточно много. Мы  ограничимся рассмотрением  тех,  которые  наиболее  активно  использу­ются  в эконометрическом  анализе. К их  числу  относятся:  нормальное  распреде­ление,  распределение ² (хи-квадрат), Стьюдента,  Фишера-Снеде­кора.

Число  степеней  свободы закона распределения СВ  определяется  чис­лом  СВ,  ее  составляющих,  уменьшенным на число    связей   между  ними.

            

Нормальное  распределение

Нормальное   распределение (распределение Гаусса)  является  предель­ным  случаем  почти всех  реальных  распределений вероятности.

Говорят, что СВ Х имеет нормальное распределение, если ее  плотность вероятности  имеет вид:

                                                                

Откуда получаем, что функция распределения вероятностей

                                                        

Как   видно из последних формул  нормальное  распределение   зависит  от  параметров m и .  При   этом

                              

Если СВ Х  имеет  нормальное  распределение с параметрами m и , то символически  это записывается  так:

               XN(m,)  или X N(m, ²)

В случае, когда  m = 0  и   = 1 говорят о  стандартном  нормальном   распределении XN(0,1) .

Во многих практических задачах требуется определить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал х₁<X<x₂. Эта вероятность может быть выражена в виде разности значений функции распределения в граничных точках интервала:

Если воспользоваться интегралом

который называется функцией Лапласа, то искомая вероятность через функцию Лапласа запишется в виде

Функцию Лапласа нельзя выразить через элементарные функции, поэтому определяют их численные значения, которые помещают в специальные таблицы (см. Приложение 1).

 

Распределение  ²   (хи-квадрат)

Пусть   х_i (i=1, 2,…, n)  – независимые нормально распределенные   СВ  с  математическими  ожиданиями  m_i и  среднеквадратическими  отклонениями _i,   соответственно, то есть   х_i N(m_i,_i ).

Тогда СВ   _, i = 1, 2, …, n являются   независимыми  СВ,  имеющими стандартное  нормальное  распределение,  U_i N(0,1).

Случайная величина  ²  имеет хи-квадрат  распределение  с n-степе­нями  свободы (²²_n),   если  

                                          

Плотность распределения СВ  ² имеет вид

где Г(n/2) – гамма-функция, для которой выполняется равенство Г(n+1) = n! .

Распределение  ²  определяется   одним   параметром  –  числом  сте­пе­ней  свободы n.

                       M(² ) = n;  D(²) = 2n.

Распределение  Стьюдента

Пусть СВ  U N(0,1),  CВ V – независимая от  U  величина, распре­деленная  по  закону  ² с n-степенями  свободы. Тогда величина 

                                                                        (1.12)

имеет распределение Стьюдента (t- распределение)  с n-степенями свободы.

Плотность распределения СВ Т имеет вид

                   M( T ) = 0;     

  Распределение Стьюдента  определяется одним  параметром n. При n>30 распределение Стьюдента  практически  можно заменить  нормальным  распределением.

 

Распределение  Фишера-Cнедекора  

Пусть V и W – независимые случайные величины,  распределенные  по закону ²  со степенями  свободы  v₁ = m и v₂ = n  соответственно. Тогда  величина

                                                                                                

имеет  распределение Фишера-Cнедекора    со степенями  свободы v₁= m и v₂ = n.

Плотность распределения СВ F имеет вид

Т.о.,  распределение Фишера-Cнедекора   F определяется двумя пара­метрами – числами  степеней свободы  m и n: