2.2.Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка. При этом значение х₁ наблюдалось n₁ раз, х₂ наблюдалось n₂ раз и т.д. х_k наблюдалось n_k раз. Тогда общий объем выборки n можно определить как

Наблюдаемое значение х_i называется вариантой, а их последователь­ность х₁, х₂,…, х_k , записанная в неубывающем порядке, - вариационным рядом. Число наблюдений n_i значения х_i называется частотой, а значение его отношения к объему выборки – относительной частотой:

Разность  между  максимальным  и минимальным  вариантами х_i СВ Х   называется  размахом   выборки.

Статистическое распределение  выборки называется перечень пар вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Пусть получено статистическое распределение  выборки. Обозначим через n_x число наблюдений, при которых значения вариант меньше, чем x. Эмпирической функцией распределения СВ называют функцию F_x* относительной частоты числа наблюдений n_x

т.е. относительной частоты события X < x. Эта функция служит для приближенного представления о теоретической функции распределения СВ.

Полигоном частот называется ломаная, отрезки прямых которой соединяют точки (x_i, n_i). По оси абсцисс откладываются точки x_i, а по оси ординат – частоты n_i . Если вместо частот n_i брать относительные частоты p_i*, то можно построить полигон относительных частот по точкам (x_i, p_i*).

Когда рассматривается непрерывная СВ, которая может принимать любые, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга значения, строится не полигон, а гистограмма. Для этого размах выборки, в котором заключены все варианты, разбивается на несколько интервалов длиной h каждый. На этих интервалах подсчитывается сумма частот вариант, попавших в i-й интервал, и составляется отношение n_i / h .

Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки длиной h, а высоты равны отношению n_i / h . Величина n_i / h называется плотностью частоты.

Чтобы привести гистограмму, т.е. выборочную плотностью частоты, в соответствие с функцией плотности вероятности f(x) генеральной совокуп­ности, по оси ординат откладывают величины n_i /(hn). Тогда площадь под гистограммой будет равна единице.

2.3. Статистическое оценивание

На основе  выборки  можно  получить лишь приближенные значения  параметров  генеральной  совокупности, т.е. их оценки,  так как эти оценки   строятся  на основе  ограниченного  набора  данных. Естественно, значения  оценок  могут   изменяться  от выборки  к выборке. Процесс  нахождения  оценок  по определенному  правилу  называется  оцениванием.

Выделяют  два типа  оценивания:   оценивание  вида  распределения  и оценивание  параметров  распределения.

 В качестве  оценки  вида  распределения  можно взять выборочное  распределение,  а в  качестве  оценки Θ^* теоретического параметра Θ  распределения  генеральной  совокупности  берутся  их  выборочные  оценки.

Очевидно,  что  оценка  Θ^* является  функцией от  выборки х₁, х₂, …, х_п,  то  есть  Θ_n^* = Θ^*(х₁,х₂,…,х_п).  Поскольку  выборка х₁, х₂, …, х_п является реализацией случайных величин X₁, X₂, …, X_n и носит   случайный  характер,  то  оценка Θ_n^*    является  СВ,  принимающей  различные  значения  для  различных выборок. Любую  оценку  Θ_n^*=Θ^*(х₁,х₂,…,х_п), полученную на основе выборки,  называют статистической оценкой  параметра Θ.

После  определения оценок обычно встает вопрос  об их  качестве и  статистической  значимости.

Качество  оценок  характеризуется  следующими основными   свойст­вами:   несмещенность, эффективность  и  состоятельность.

Оценка Θ_n^*   называется  несмещенной   оценкой   параметра  Θ, если  ее  математическое  ожидание   равно  оцениваемому  параметру:   M(Θ_n^*)= Θ.

Оценка Θ_n^* называется  эффективной  оценкой  параметра  Θ, если  ее  дисперсия D(Θ_n^*)  меньше   дисперсии   любой  другой   выборки  объемом  n.

Оценка параметра Θ   называется  асимптотически   эффективной,  если  с  увеличением  объема  выборки   ее  дисперсия  стремится  к нулю, т.е.

D(Θ_n^*)  0 при n  .

Оценка  _n^* называется состоятельной оценкой параметра Θ, если _n^* сходится по вероятности к Θ  при n  ,т.е. для любого   0  при n   P(_n^* - <  )  1.  

Иначе,  состоятельной называется такая оценка, которая дает истинное  значение  при   достаточно  большом  объеме  выборки   вне   зависимости  от значений   входящих   в нее   конкретных   наблюдений.