1.3. Законы распределений случайных величин

 

Аналитические выражения для функции распределения  вероятностей F(x) и плотности распределения f(x) носят название законов распределения.

Зная конкретный  закон  распределения СВ, можно предвидеть  вероятности попадания  исследуемой СВ в определенные  интервалы.  Законов  распределения много. Мы  ограничимся рассмотрением  тех,  которые  наиболее  активно  используются  в эконометрическом  анализе. К их  числу  относятся:  равномерное распределение, экспоненциальное распре­деление нормальное  распреде­ление.

            

Равномерное  распределение

СВ Х имеет равномерное  распределение, если ее плотность распреде­ления имеет вид

Равномерное  распределение описывает случайные эксперименты с равновероятными исходами. Математическое  ожидание и дисперсия равномерно  распределенной СВ Х равны

Экспоненциальное распределение

СВ Х имеет экспоненциальное (показательное) распределение, если ее  плотность вероятности  имеет вид:

где положительная константа. Математическое  ожидание и дисперсия экспоненциально  распределенной СВ Х равны

Нормальное  распределение

Нормальное   распределение (распределение Гаусса)  является  предельным  случаем  почти всех  реальных  распределений вероятности.

Говорят, что СВ Х имеет нормальное распределение, если ее  плотность вероятности  имеет вид:

                                                                (1.9)

Откуда получаем, что функция распределения вероятностей

                                                        (1.10)

Как   видно из формул  (1.9) и  (1.10)  нормальное  распределение   зависит  от  параметров m и .  При   этом

                              

Если СВ Х  имеет  нормальное  распределение с параметрами m и , то символически  это записывается  так:

               XN(m,)  или X N(m, ²)

В случае, когда  m = 0  и   = 1 говорят о  стандартном  нормальном   распределении XN(0,1) .

Во многих практических задачах требуется определить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал х₁<X<x₂. Эта вероятность может быть выражена в виде разности значений функции распределения в граничных точках интервала:

Если воспользоваться интегралом

который называется функцией Лапласа, то искомая вероятность через функцию Лапласа запишется в виде

Функцию Лапласа нельзя выразить через элементарные функции, поэтому определяют их численные значения, которые помещают в специальные таблицы (см. приложение 1).

 

1.4. Предельные теоремы теории вероятностей

 

Закон больших чисел

Под законом больших чисел в ТВ понимается ряд теорем, в которых устанавливается асимптотическое приближение среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию СВ. В частности, приближение относительной частоты к вероятности СВ. В качестве примера приведем без доказательства теорему, принадлежащую русскому математику Чебышеву.

Теорема. Пусть конечная последовательность Х₁, Х₂, …, Х_n независи­мых СВ с одинаковыми математическими ожиданиями

M (X₁₎ = M (X₂ ) =… = M (X_n ) = m

и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной С

D(X₁ )<C, D(X₂ )<C, …, D(X_n )<C.

Тогда, каково бы ни было положительное число , вероятность

Теорема Чебышева устанавливает связь между теорией вероятностей, которая рассматривает средние характеристики всего множества значений СВ, и математической статистикой, оперирующей ограниченным множеством значений этой СВ.

Центральная предельная теорема

Многие СВ имеют нормальный закон распределения. Это связано с тем обстоятельством, что суммирование большого числа СВ с самыми разными законами распределения приводит к нормальному распределению этой суммы. Указанное свойство устанавливается теоремой.

Теорема. Если СВ Х представляет собой сумму большого числа взаимно независимых СВ, влияние каждой из которых ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Центральная предельная теорема имеет большое значение для практики. Однако следует иметь в виду, что при усилении влияния отдельных факторов могут появляться отклонения от нормального распределения результирующей суммы. Поэтому большое значение на практике уделяется проверке гипотезы о нормальном законе распределения результирующего параметра.