3

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Российский государственный социальный университет

Филиал в г. Красноярске

ОСНОВЫ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

(Конспект лекций

для студентов экономических специальностей

всех форм обучения)

Красноярск, 2007

Основы теории вероятностей и математической статистики: Конспект лекций – КФ РГСУ, Красноярск, 2007. Электронный вариант.

Составитель: к.т.н., доцент, Чайка С.Н.

Конспект лекций предназначен для освоения студентами курса «Математика», раздел «Теория вероятностей и математическая статистика».

Предназначен для студентов экономических специальностей всех форм обучения.

Конспект лекций содержит материал по основным разделам курса согласно Федерального стандарта для студентов экономических специальностей, справочные таблицы, библиографию.

Рассмотрено на заседании кафедры

Протокол № _____

«___» ____________ 2007 г.

Оглавление

1. Базовые   понятия теории  вероятностей 4

  1.1. События. Вероятность. Случайная величина 4

1.2. Числовые  характеристики  случайных  величин 9

1.3. Законы  распределений  случайных величин 11

1.4. Предельные теоремы теории вероятностей     13

2. Базовые  понятия  математической  статистики 15

2.1. Генеральная  совокупность и выборка    15

2.2.Статистическое распределение  выборки 16

2.3. Статистическое оценивание 17

2.4. Точечные и интервальные статистические оценки 18

2.5. Вычисление  выборочных  характеристик 18

 2.6. Основные законы  распределения  статистических оценок 19

3.  Проверка статистических гипотез 22

3.1. Статистическая   гипотеза. Ошибки 1 и 2 рода. 22

3.2. Статистический критерий проверки  нулевой гипотезы 23

3.3. Критерий Пирсона проверки гипотезы о распределении генеральной совокупности. 23

4. Системы случайных величин 24

4.1. Двумерные СВ. Функция регрессии. 24

4.2. Ковариация. Коэффициент корреляции. 25

4.3. Выборочное уравнение линейной регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. 25

Приложения 27

Литература 29

1. Базовые понятия теории вероятностей

 

Любая  экономическая  деятельность  несет  в себе элемент стохастичности,  что  значит – осуществляя  ту или  иную  экономическую  операцию,  анализируя динамику  экономических  показателей  и т.д., ни один из  специалистов  не может  быть  уверен  в конечном  результате, поскольку все такие операции и показатели подвержены  влиянию  случайных  факторов,  то есть  сами  тоже являются  случайными.

 Причинами  здесь  являются – непредсказуемость  доминирующего  субъекта  такой  деятельности – человека  и, в  воздействии  на любой  экономической  показатель  огромного количества  факторов. Многие  из этих  факторов  человеком не контролируются.

Поэтому  возникает  проблема  научного  обоснования  результатов  экономической    деятельности. Это можно осуществить,  лишь  рассмат­ривая   экономические  показатели  и явления с учетом  влияния  на них  случайных   факторов,   то есть,  применяя  аппарат теории вероятностей и математической  статистики.

Изучением закономерностей случайных явлений занимается специаль­ная математическая наука – теория вероятностей (ТВ). Раздел ТВ, изучающий методы обработки результатов опытов и полученных из них необходимых данных, называется математической статистикой (МС).

 

1.1. События. Вероятность. Случайная величина

 

События

В экономике, как и в других областях человеческой деятельности или в природе, приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать. Чтобы оценить событие, необходимо учесть условия, при которых оно происходит. Выполнение определенных условий для выявления рассматриваемого события  называется опытом или экспериментом.

Событие называется случайным, если в результате опыта оно может либо произойти, либо не произойти.

Событие называется достоверным, если оно обязательно появляется в результате опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте.

События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном опыте.

Алгебра событий:

а) Суммой событий А₁, А₂, … , А_n называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий;

б) Произведением событий А₁, А₂, … , А_n называется событие, состоя­щее в одновременном появлении всех этих событий.

События А₁, А₂, … , А_n образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в опыте.

П ротивоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу. Противоположное событию А событие обозначается А.

Вероятность

Одной из главных задач в ТВ является задача определения количественной меры возможности появления события. Такой количест­венной мерой возможности появления рассматриваемого события является вероятность.

Классическое определение вероятности связано с понятием благопри­ятствующего исхода. Любой из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Исход называется благопри­ятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

Вероятность  P(A) события  А равна  отношение  числа m исходов, благоприятствующих  появлению  данного  события,  к  общему  числу  n  исходов,  данного    вероятностного  эксперимента

                                              (1.1)

Статистическое определение вероятности связано с понятием отно­сительной частоты появления события А в опытах. Относительная частота появления события А вычисляется по формуле

(1.1а)

где m₁ – число появлений события А в серии из n₁ опытов.

Вероятностью  события  А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота P*(A) при неограниченном увеличении числа опытов (n₁ ).

Из  определения  вероятности вытекает  очевидное   неравенство

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий А₁, А₂, … , А_n равна сумме вероятностей этих событий:

Условная вероятность. Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается P(A/B).

Теорема умножения 2-х вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

P(AB) = P(A)P(B/A).

Теорема умножения n вероятностей. Вероятность произведения конечного числа событий А₁, А₂, … , А_n равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий, т.е.

P(A₁A₂…A_n) = P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂)…P(A_n/A₁A₂…A_n-1).

Если при наступлении события А вероятность события В не меняется, то события А и В называются независимыми. В случае независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

P(A₁A₂…A_n) = P(A₁)P(A₂)P(A₃)…P(A_n).

Основные формулы для вероятностей событий:

а) Формула полной вероятности. Пусть событие В может произойти только с одним из несовместных событий А₁, А₂, … , А_n , тогда вероятность события В

б) Формула Байеса. Пусть событие В проиcходит с одним из n несовместных событий А₁, А₂, … , А_n , тогда вероятность события A_i при условии, что событие В произошло

в) Формула Бернулли. Пусть проведено n независимых испытаний, тогда вероятность того, что в m испытаниях наступит событие А, если вероятность его наступления в каждом испытании p равна

где q = 1 – p ,

г) Формула Пуассона. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит m раз, приближенно равна

где np.

Случайная величина

Случайная  величина (СВ) – это  величина,  которая  может  принимать  любое заранее неизвестное  значение, из некоторого  множества  значений. СВ обычно обозначается прописной буквой латинского алфавита (X, Y), ее конкретные значения – строчными буквами (x, y).

Спрос  на какую – либо  продукцию,  прибыль  фирмы,  объем  экспорта  за определенное  время и т. д.  являются  случайными  величинами.

Различают  дискретные  и непрерывные СВ. 

Дискретной  (ДСВ)  называют  такую  СВ,  которая    принимает  отдельные,  фиксированные значения с определенными  вероятностями. Например, число покупателей  в магазине в определенный момент   времени, количество определенного  товара, продаваемого  ежедневно в магазине, число  автомобилей  на проспекте  и т.д.  является  дискретными СВ. 

Непрерывной (НСВ) называется случайная величина,  которая  может  принимать  любые  значения   из   некоторого конечного или бесконечного  числового  промежутка.   Большинство СВ,  рассматриваемых  в экономике, имеют  настолько большое число  возможных значений,  что  их  удобнее  представлять  в виде  непрерывных  СВ.  Например,   курсы  валют, доход,  объемы ВНП,  ВВП и  т. д.

Дискретные  СВ

Для описания  дискретной СВ  необходимо   установить  соответствие между всевозможными  значениями СВ  x₁, x₂, …, x_k и их  вероятностями p₁, p₂, …, p_k.  Такое  соответствие  называется   законом   распределения  вероятностей  ДСВ.  Его  можно  задать таблично,  аналитически  (в виде  формулы)  либо  графически.

Например, табличное  задание  закона  распределения  дискретной  СВ:

          

х	х1	х2	…	xk
рi	р1	р2	…	рk

где    

Аналитически ДСВ  задается  функцией   распределения  вероятностей.

Функцией распределения  вероятностей F(x) СВ Х  называется  функция,  которая определяется  следующим  образом:

                          

т.е. это есть вероятность того, что СВ Х  принимает значение меньшее,  чем х.

Отметим  некоторые  свойства F(x):

1.        

2. F(x) -  неубывающая  функция, то есть       

3.     

4. Если СВ Х  принимает  значения из  отрезка [a, b],  то

                          

5.   

Если дискретные значения СВ x₁, x₂, …, x_k расположены в порядке возрастания, то каждому значению x_i ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятность p_i:

x1	x2	x3	…
p1	p1+p2	p1+p2+p3	…

Так как до значения x₁ СВ Х не встречалась, то и вероятность события Х<x₁ равна нулю. Наносим на график дискретные значения СВ x и соответствующие суммы вероятностей, получаем ступенчатую фигуру, которая и является графикам функции распределения вероятностей (см. рис.).

Непрерывные СВ

Для характеристики НСВ используется функция распределения  вероятностей, которая как и для ДСВ, представляет собой вероятность события Х  < х:

F(x) = P(Х  < х).

Однако в отличие от ДСВ Х пробегает все непрерывное множество значений, а сама функция F(x) возрастает монотонно. График такой функции часто имеет вид, представленный на рис.

Здесь предполагается, что х изменяется от -  до + 

Из рис. видно, что вероятность события Х <х₁ равна F(x₁), а вероятность события Х < х₂ равна F(x₂). Значит, вероятность того, что СВ Х заключена между x₁ и x₂ , равна разности соответствующих функций распределения  вероятностей:

P( х₁ < Х < х₂) = F(x₂) - F(x₁).

Кроме функций распределения  вероятностей для НСВ вводится понятие плотности распределения вероятностей, или плотности вероятностей

Плотностью вероятности  непрерывной СВ Х называют  функцию

                         

или из свойства (5)  функции распределения  вероятностей получаем

                          

т.е. плотность  вероятности есть производная функции распределения. 

Свойства плотности  вероятности:

1. 

2.      

3.             

4.              

В некоторых случаях по заданной вероятности р требуется найти такие значения x_р, для которых выполняется равенство

F(x_p) = p.

Значение x_p, для которого последнее равенство справедливо, называется квантилью, отвечающей заданному уровню вероятности. Ее также называют 100р-процентной квантилью.