Раздел 1. Элементы комбинаторики

Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики Задание 2. Основное правило комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания без повторений – 2 ч.

Цель: формирование умения применять основное правило комбинаторики (правило произведения) определять тип комбинаторного объекта и рассчитывать количество выборок без повторения заданного типа в заданных условиях.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 2.1. Повторите основное правило комбинаторики. Вспомните, какие основные понятия комбинаторики существуют. Проанализируйте, чем отличаются размещении, перестановки и сочетания. Как рассчитать их число?

Основные сведения из теории:

2.2. Закончите высказывания:

а) Комбинаторика – раздел математики, изучающий ….

б) Правило произведения: пусть требуется выполнить … . Если первое действие может быть выполнено … способами, второе - … способами и т.д., то все … действий могут быть выполнены … способами.

в) Пусть из элементов некоторого множества производят выборку объектов. Если элементы в выборке не повторяются, то для решения комбинаторных задач используют ….

г) В размещениях и перестановках порядок внутри выборки …, а в сочетаниях - …

д) Факториал натурального числа – произведение …

е) Число размещений из п элементов по т находят по формуле: …

ж) Число сочетаний из п элементов по т находят по формуле: …

з) Число перестановок из п элементов находят по формуле: …

Примеры и упражнения:

2.3. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из латинских

а) трех букв, причем эти буквы могут повторяться;

б) четырех букв, которые не повторяются?

2.4. У людоеда в подвале томятся 20 пленников. Сколькими способами он может выбрать трех из них

а) одного на завтрак, одного на обед, одного на ужин?

б ) чтобы отпустить на свободу?

2.5. На поле 5 игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке с помощью стрелок изображен один из возможных вариантов передачи шайбы между игроками. Сколько всего вариантов передачи возможно?

2.6. В автомашине 5 мест. Сколькими способами пять человек могут разместиться в машине, если занять место водителя может только один из них?

2.7. У англичан принято давать детям несколько имён. Сколькими способами можно назвать ребёнка, если общее число имён равно 300, а ребёнку дают

а) одно; б) два; в) три; г) не более трёх имён?

2.8. Восемь студентов группы ИС1-31 решили сыграть в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека?

2.9. Туристы запланировали посетить 5 храмов г. Ярославля: церковь Ильи Пророка, Успенский собор, церковь Богоявления, Иоанна Предтечи, Никола - рубленый город. Обязательное условие – посещение церкви Ильи Пророка и Успенского собора должны идти сразу друг за другом (возможен вариант – сначала – посещение Успенского собора, потом сразу за ним - церкви Ильи Пророка). Сколько вариантов маршрута существует у туристов?

2.10. На вечеринку собралось 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

Методические указания по выполнению работы:

Комбинаторика – раздел математики, изучающий вопрос о существовании и подсчёте числа комбинаций, которые можно составить из элементов данного множества.

При решении задач по комбинаторике проанализируйте:

1. Каково исходное множество и сколько элементов оно содержит (п).

2. Какие выборки производят из элементов данного множества и сколько элементов в выборке (т).

• Если элементы в выборке могут повторяться, и порядок в выборке важен, то для решения используйте правило произведения: Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе – n₂ способами и т.д., то все k действий могут быть выполнены n₁ n₂ n₃ … n_k способами.

• Если элементы в выборке не повторяются, используйте размещения, перестановки или сочетания. Проанализируйте, важен ли порядок внутри каждой выборки. Для этого возьмите любую конкретную выборку и поменяйте два элемента местами. Если от этого смысл изменится, то порядок в выборке важен, если не изменится – не важен. Вам поможет следующая таблица:

Размещения	число размещений	упорядоченность выборки +
Перестановки	число перестановок	+ упорядоченность выборки
Сочетания	число сочетаний	упорядоченность выборки –

Где n! - факториал ( ) - произведение натуральных чисел от 1 до n (n! = 1∙2∙3∙…∙( n – 1)∙ n).

Пример 2.1. Из Москвы в Париж ведут 4 пути, а из Парижа в Лондон два. Сколькими способами можно добраться из Москвы в Лондон, заезжая в Париж?

Решение.

М

Л

П

1. Определяем количество действий k. В нашем примере k = 2, т.к. по условию нужно выполнить 2 действия: первое – путешествие из Москвы в Париж, второе – путешествие из Парижа в Лондон.

2. Определяем, сколькими способами можно выполнить каждое действие, т.е. находим n₁ и_. n₂. Первое действие – путешествие из Москвы в Париж – можно выполнить 4 способами, т.к. из Москвы в Париж ведут 4 пути, значит n₁ = 4. Второе действие – путешествие из Парижа в Лондон - можно выполнить 2 способами, т.к. из Парижа в Лондон ведут 2 пути, следовательно, n₂ = 2.

3. Пользуемся правилом произведения: наши 2 действия можно выполнить n₁ n₂ способами, следовательно, из Москвы в Лондон с заездом в Париж ведут 2 4 = 8 дорог.

Пример 2.2. В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами может определиться тройка призеров?

Решение. Переведем задачу на язык комбинаторики. Исходное множество - 16 команд первенства России - содержит 16 элементов (п = 16).

Из элементов данного множества мы составляем наборы (тройки призеров) по 3 элемента, следовательно, т = 3. Элементы внутри выборки не повторяются (одна и та же команда не может занять 2 призовых места).

Смотрим, важен ли порядок элементов в каждом наборе. Например, возьмем набор команд Спартак, Динамо, Шинник. Это значит, что Спартак занял в чемпионате первое место, Динамо – второе, Шинник – третье. Если мы изменим порядок следования команд в наборе, получим совершенно другое распределение мест. Следовательно, порядок элементов в каждом наборе нам важен, мы имеем дело с размещениями из 16 по 3. Их число находим как по формуле : .

Итак, тройка призеров в чемпионате России по футболу может определиться 3360 способами.

Пример 2.3. На рабочем столе пользователя компьютера находится 7 ярлыков. Сколькими способами он может разместить их в один столбец?

Решение. Выделим исходное множество – 7 ярлыков на рабочем столе (п = 7).

Их необходимо разместить на 7 мест, т.е. составлять наборы по 7 элементов (т = 7). Элементы внутри выборки не повторяются (ярлык на одну программу не встречается 2 раза).

Порядок следования ярлыков в каждом наборе важен, поэтому мы имеем дело с размещениями всех 7 элементов, или с перестановками Р₇. Количество таких перестановок находим по формуле: . Тогда Р₇ = 7! = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 = 5040.

Итак, пользователь может разместить ярлыки на рабочем столе 5040 способами.

Пример 2.4. В соревнованиях по футболу участвуют 4 команды: Шинник, Спартак, Динамо, Алания. Сколько матчей будет сыграно, если турнир, организован по круговой системе (каждый участник встречается с каждым 1 раз)?

Решение. Исходное множество представляет собой 4 команды, следовательно, состоит из 4 элементов (п = 4).

Из элементов этого множества мы составляем пары команд, участвующих в турнире, т.е. т = 2. Элементы внутри выборки не повторяются (команда не играет сама с собой).

При проведении турнира по круговой системе каждый участник встречается с каждым и порядок их вхождения в пару не важен. Пара Ш-С и С-Ш – одна и та же. Поэтому мы имеем дело с сочетаниями. Их число находим по формуле Следовательно, по круговой системе потребуется провести встреч.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.1, с. 15 - 19.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.8, с. 20 - 24.