1. Пояснения к решению:
Домашняя контрольная работа №2 включает в себя 8 заданий и состоит из двух частей: расчетной и графической. Работа выполняется в тетрадях для практических работ.
Все расчеты следует выполнять с применением калькулятора или персонального компьютера с точностью 4 знака после запятой. В отчетной работе необходимо приводить все расчеты и используемые формулы.
Расчетная часть: при выполнении расчетной части примените изученные Вами формулы.
1.2. Графическая часть: Графики выполняются в тетради для практических работ. Обязательно задание единиц измерения и соблюдение масштаба при построении графиков.
1.3.
Выводы: В конце работы следует сделать
вывод о том, какие числовые значения
Мо(Х), М(Х), D(Х),
получены, что они характеризуют и в
каких единицах измеряются.
В случае затруднений при выполнении работы обратитесь к примеру 15.1.
Пример 15.1. Для ДСВ, заданной законом распределения
Х |
-5 |
0 |
2 |
6 |
Р |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
? |
найдите недостающую вероятность, числовые характеристики, F(x). Постройте многоугольник распределения и график F(x).
Решение:
№ |
Теоретический материал |
Пример |
1 |
Сумма вероятностей для всех значений ДСВ всегда равна единице, т.е. р1 + р2 + … + рп = 1. |
Р(Х=6) = 1 – (0,1+0,2+0,3) = = 1 – 0,6 = 0,4 |
2 |
Мода – такое значение ДСВ, вероятность которого наибольшая |
Мо(Х) = 6 (ед.). т.к. у значения ДСВ х=6 наибольшая среди всех вероятность 0,4 |
3 |
Медиана – среднее по положению в пространстве событий значение ДСВ. Медиана
для упорядоченного по возрастанию
значений закона ДСВ есть одно или два
«серединных» значения х,
для которых номер мест вычисляется
по формуле:
|
Т.к. п = 4 (число
значений х в таблице), то
Ме(Х) = 0 (ед.) и Ме(Х) = 2 (ед.). |
4 |
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и находится по формуле: M(X) = х1·р1 + х2·р2+…+ хп·рп. Математическое ожидание измеряется в тех же единицах, что и случайная величина. |
М(Х) = -5·0,1 + 0·0,2 + 2·0,3 + 6·0,4 = -0,5 + 0,6 + 2,4 = 2,5(ед.)
|
5 |
Дисперсия характеризует степень отклонения значений случайной величины от ее среднего значения. Для вычисления D(X) удобна формула: D(X) = M(X2) - M2(X), где M(X2) = х12·р1 + х22·р2+…+ хп2·рп, а M(X) находится в пункте 4. Дисперсия измеряется в квадратных единицах. |
М(Х) = 2,5, M(X2) =(-5)2·0,1 + 02·0,2 + 22·0,3 + 62·0,4 = 2,5 + 1,2 + 14,4 = 18,1 (ед2.) Тогда D(X) = M(X2) - M2(X)= 18,1 – 2,52 = 18,1 – 6,25 = 11,85 (ед2.) |
6 |
Среднеквадратическое отклонение σ(Х) также характеризует степень рассеяния ДСВ относительно среднего значения, но измеряется в тех же единицах, что и случайная величина. Среднеквадратическое
отклонение σ(Х)
находится по формуле:
|
|
7 |
Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, меньшее х: F(x) = P(X < x), .
|
|
8 |
Графическим изображением закона распределения ДСВ является набор точек с координатами (х1; р1), (х2; р2)… (хп; рп), последовательно соединенных отрезками (многоугольник распределения). |
|
9 |
График интегральной функции распределения имеет ступенчатый вид |
|
. Следовательно, номера мест значений
медианы – 2 и 3.
=
(ед.)
Список литературы:
1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.1.3, с. 106-118.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.1-2.3, с. 60-68.