Раздел 3. Основы теории вероятностей

Тема 3.2. Вероятности сложных событий Задание 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей – 3 ч.

Цель: формирование умения представлять сложные события через элементарные с помощью операций над событиями, вычислять вероятности сложных событий с использованием теорем сложения и умножения вероятностей.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

10.1. Повторите, какие операции можно выполнять над событиями. Выучите теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий, теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий, теорему о вероятности противоположного события.

10.2. Вероятность попасть в «десятку» равна 0,2, в «девятку» - 0,3, в «восьмерку» - 0,4. Определите вероятность при одном выстреле выбить а) не менее 9 очков, б) не менее 8 очков.

10.3. Из чисел 1, 2, 3,… 20 наудачу выбирается число. Найдите вероятность того, что оно делится на 2 или на 3.

10.4. Электронный прибор состоит из двух последовательно включённых блоков. Вероятность выхода из строя за месяц работы первого блока равна 1/3, второго – 1/4, обоих – 1/6. Найдите вероятность безаварийной работы прибора в течение месяца.

10.5. Кириллу подарили две коробки конфет. В первой лежит 10 конфет с тёмным шоколадом и 5 с молочным, а во второй – 5 конфет с тёмным шоколадом и 7 с молочным, одинаковые на вид. Кирилл угостил Алёну. Из каждой коробки Алёна выбрала по одной конфете. Найдите вероятность того, что:

а) обе конфеты с тёмным шоколадом;

б) обе конфеты с молочным шоколадом;

в) одна конфета с тёмным, другая с молочным шоколадом;

г) хотя бы одна конфета с молочным шоколадом.

10.6. В компьютере одновременно работают две независимые программы. Вероятность того, что первая программа даст сбой, равна 0,3, а вторая – 0,4. Найдите вероятность того, что:

а) обе программы дадут сбой;

б) обе программы проработают без сбоя;

в) ровно одна программа даст сбой;

г) хотя бы одна программа даст сбой;

д) хотя бы одна программа проработает без сбоя;

е) будет не более одного сбоя.

10.7. В автопробеге участвуют три автомобиля. Первый может сойти с маршрута с вероятностью 0,16, второй – с вероятностью 0,12, третий – с вероятностью 0,2. Определите вероятность того, что к финишу:

а) прибудут все автомобили;

б) прибудут два автомобиля;

в) прибудут по крайней мере два автомобиля;

г) прибудет не более двух автомобилей;

д) прибудет только один автомобиль;

е) прибудет более трёх автомобилей;

ж) не прибудет никто.

10.8. На столе преподавателя разложено 40 карточек с вопросами, из них 30 – по теории вероятностей, 10 – по статистике. Каждому студенту предлагается ответить на 2 вопроса. Студент вытащил первый вопрос по статистике. Какова вероятность того, что второй вопрос тоже будет по статистике?

10.9. Из букв разрезной азбуки составлено слово «параллелепипед». Какова вероятность того, что перемешав буквы и укладывая их наудачу в ряд, получим слово

а) репа;

б) парад?

Решите эту задачу с использованием теоремы произведения вероятностей зависимых событий.

10.10. Четыре брата определяют дежурного по квартире при помощи четырех спичек, одна из которых короче остальных. В равных ли условиях находятся братья? (Указание: методом графов оцените вероятность дежурить для каждого брата)

10.11. Из 15 инвестиционных фондов 5 – «пирамиды». Вы приобретаете по одной акции трёх фондов. Какова вероятность того, что среди приобретённых акций хотя бы одна - не акция «пирамиды»?

10.12. В жюри из трёх человек 2 члена независимо друг от друга принимают правильные решения с вероятностью 0,9, а третий для решения бросает монету. Окончательное решение жюри выносится большинством голосов. С другой стороны, некий судья принимает правильное решение с вероятностью 0,9. Кто с большей вероятностью принимает правильное решение: жюри или судья?

Методические указания по выполнению работы:

При решении вероятностных задач на теоремы сложения и умножения вероятностей:

1. Выделите испытание.

2. Выпишите случайное событие, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.

3. Определите, из каких более простых событий состоит данное событие.

4. Представьте данное событие в виде комбинации более простых событий, используя операции суммы, произведения или понятие противоположного события.

5. Примените соответствующие теоремы сложения (с учетом совместности или несовместности событий), умножения (с учетом зависимости или независимости событий) вероятностей или вероятности противоположного события.

При решении задач необходимо знание следующих теорем:

Теорема 1. Р(А+В) = Р(А) + Р(В), если А и В – несовместные события

Теорема 2. Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В), если А и В – совместные события

Применение теоремы 1 всегда требует проверки несовместности рассматриваемых событий.

Пример 10.1. В памяти компьютера в папке «Важное» находится 30 файлов. 5 из них имеют объем менее 5 страниц, 10 документов имеют объем от 5 до 10 страниц, остальные – более 10 страниц. Пользователь наугад открывает файл. Какова вероятность того, что он откроет документ объемом не менее 5 страниц?

Решение. 1. Выделим испытание – открыть файл из папки «Важное».

2. Искомое событие А – открытый документ имеет объем не менее 5 страниц.

3. Событие А можно разложить на более простые события А₁ и А₂, где

А₁ – открыть документ объемом от 5 до 10 страниц,

А₂– открыть документ объемом свыше 10 страниц.

4. Поскольку для осуществления события А необходимо выполнение или А₁, или А₂, то А = А₁ + А₂.

5. События А₁ и А₂ несовместны, т.к. не могут произойти одновременно. Тогда по теореме 1

Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂).

Р(А₁) = , Р(А₂) = , следовательно, Р(А) = .

Пример 10.2. Найдите вероятность того, что при подбрасывании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет шестерка.

Решение. 1. Испытание - подбрасывание двух игральных костей.

2. Искомое событие А – выпадение хотя бы одной шестерки.

3. Разложим событие А на более простые события А₁ и А₂:

А₁ – выпадение 6 очков на первом кубике,

А₂ – выпадение 6 очков на втором кубике.

4. Поскольку для осуществления события А необходимо выполнение или А₁, или А₂, то А = А₁ + А₂.

5. Проверим, совместны ли события А₁ и А₂. По условиям испытания 6 очков может появиться или на одном кубике, или на обоих сразу, т.е. события А₁ и А₂ могут произойти одновременно, следовательно, эти события совместны. Тогда по теореме 2 Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁·А₂).

Учитывая, что Р(А₁) = Р(А₂) = , Р(А₁·А₂)= , получим, что Р(А) = .

Теорема 3. Р(А) + Р(Ā) = 1

Теорема 4. Р(А·В) = Р(А) · Р(В), если события А и В независимы

Теорема 5. Р(А·В) = Р(А) · Р(В/А), если события А и В зависимы, где Р(В/А) - условная вероятность события В, вычисленная при предположении того, что событие А уже наступило.

Пример 10.3. В компьютерный класс решили приобрести 3 дополнительных компьютера, заказав их в трех разных фирмах. Вероятность того, что первая фирма выполнит заказ в срок, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,95. Найдите вероятность того, что:

1. все три компьютера будут доставлены в срок,

2. ни один компьютер не будет доставлен в срок.

Решение. 1. Испытание - приобретение трех компьютеров в разных фирмах.

2. Искомое события А - все три компьютера будут доставлены в срок.

3. Разложим событие А на более простые события:

событие А₁ – первая фирма выполнит заказ в срок, Р(А₁) = 0,9,

событие А₂ – вторая фирма выполнит заказ в срок, Р(А₂) = 0,8,

событие А₃ – третья фирма выполнит заказ в срок, Р(А₃) = 0,95.

4. Событие А произойдет только тогда, когда будут выполнены и событие А₁, и событие А₂, и событие А₃. Следовательно, А = А₁· А₂· А₃.

5. События А₁, А₂ и А₃ независимы, т.к. осуществление или неосуществление любого из событий не влияет на вероятность осуществления остальных события. Тогда по теореме 4

Р(А) = Р(А₁·А₂·А₃) = Р(А₁) · Р(А₂) · Р(А₃),

Р(А) = 0,9·0,8·0,95 = 0,684.

6. Найдем вероятность события В – ни один компьютер не будет доставлен в срок. Событие В произойдет только тогда, когда и первый, и второй, и третий компьютеры не будут доставлены в срок. В решении появляются события, противоположные данным.

Событие Ā₁ – первая фирма не выполнит заказ в срок, Р(Ā₁) = 1 – 0,9 = 0,1

событие Ā₂ – вторая фирма не выполнит заказ в срок, Р(Ā₂) = 1 – 0,8 = 0,2,

событие Ā₃ – третья фирма не выполнит заказ в срок, Р(Ā₃) = 1 – 0,95 = 0,05.

Раз события Ā_1, Ā_2, Ā₃ должны быть выполнены одновременно, то мы имеем дело с произведением этих событий, т.е. В = Ā₁· Ā₂· Ā₃ .

События Ā_1, Ā_2, Ā₃ независимы, поэтому по теореме 4 Р(В) = Р(Ā₁·Ā₂·Ā₃) = Р(Ā₁) · Р(Ā₂) · Р(Ā₃),

Р(В) = 0,1·0,2·0,05 = 0,001.

Пример 10.4. Слово «МАТЕМАТИКА» разделено на отдельные буквы, из них произвольным образом отбираются и выкладываются по порядку четыре буквы. Какова вероятность получения слова «МАМА»?

Решение. 1. Испытание – выбор и расположение по порядку четырех букв из слова «МАТЕМАТИКА».

2. Событие А - получить слово «МАМА».

3. Первой буквой надо обязательно извлечь букву «М», назовем это событием А₁. Тогда P(A₁) = , т.к. в слове «МАТЕМАТИКА», состоящем из 10 букв, две буквы «М».

Второй буквой надо обязательно извлечь букву «А», назовем это событием А₂. Тогда P(A₂/A₁) = , т.к. осталось 9 букв, из них 3 буквы «А».

Третьей буквой надо обязательно извлечь букву «М», назовем это событием А₃. Тогда P(A₃/A₁·A₂) = , т.к. осталось 8 букв, из них 1 буква «М».

Четвертой буквой надо извлечь букву «А», назовем это событием А₄. Тогда P(A₄/A₁·A₂·A₃) = , т.к. осталось 7 букв, из них 2 буквы «А».

Удобно эту задачу проиллюстрировать методом графов, взяв в дереве испытаний только одну ветвь, соответствующую событию А:

4. Для осуществления события А необходимо выполнение всех событий А₁, А₂, А₃, А₄, следовательно, А = А₁·А₂·А₃ ·А₄.

5. События А₁, А₂, А₃ и А₄ зависимы, тогда в силу теоремы 5 Р(А) = Р(А₁·А₂·А₃·А₄) = Р(А₁) · Р(А₂/А₁) · Р(А₃/А₁·А₂)∙ Р(А₄/А₁·А₂·А₃), и

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.6, с. 34-46.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.14 -1.16, с. 37-41.