
- •Введение (общее разделение наук о числе)
- •§ 1. Первая противоположность: чистая математика и математическое естествознание.
- •§ 2. Число как факт духовной культуры.
- •§ 3. Психо–биология и социология числа.
- •§ 4. Философия числа.
- •§ 5. История наук о числе.
- •§ 6. Общая схема диалектического разделения основных наук о числе.
- •§ 7. Разделение философии числа.
- •§ 8. Диалектические основы математики.
- •§ 9. Разделение их.
- •Общая теория числа
- •§ 10. Вступление.
- •I. Отграничения (установка числового перво–принципа)
- •§ 11. Число не есть ни что–нибудь вещественно–качественное, ни вообще объективное.
- •§ 12. Число не есть что–нибудь субъективное.
- •§ 13. Число относится к чисто смысловой сфере.
- •§ 14. Число и понятие.
- •§ 15. Число есть самый акт смыслового полагания, а не содержание этого полагания.
- •§ 16. Число, количество и величина.
- •II. ФундаментаЛbНый анализ числа (число как чистое понятие)
- •§ 17. Первая установка.
- •§ 18. «Нечто» и переход его в «это».
- •§ 19. «Иное этого»; различие, тождество, движение, покой.
- •§ 20. «Ничто» и абсолютно самотождественная неразличимость актов полагания—перво–принцип числа.
- •§ 21. Основная диалектика понятия числа.
- •§ 22. Аналогии.
- •§ 23. Основа всего — диалектическая жизнь перво–ак–та.
- •§ 24. Проверка на функциях натурального ряда.
- •§ 25. Проверка на отдельном числе.
- •§ 26. Диалектика различия, тождества, движения и покоя в числе.
- •§ 27. Формула понятия числа.
- •§ 28. Сущность числовой модификации общесмыслового эйдоса.
- •§ 29. Отграничение понятия числа сверху.
- •§ 30. Отграничение понятия числа снизу.
- •§ 31. Итог фундаментального анализа.
- •III. Основные аксиомы числа (число как суждение)
- •§ 33. Сущность математической аксиоматики.
- •§ 34. Разделение всей общей теории числа и место аксиоматики в ней.
- •§ 35. Общая основа всех аксиом.
- •§ 37. Неразличимость как принцип различимости.
- •§ 38. Неразличимость как принцип конкретной числовой индивидуальности.
- •§ 39. Самосозидание.
- •§ 40. Везде и нигде.
- •§ 41. Число и время.
- •§ 42. Число и музыка.
- •§ 43. Формула перво–принципа.
- •§ 46. Аксиома самотождественного различия в геометрии.
- •§ 47. Аксиома самотождественного различия в теории множеств.
- •§ 48. Формулировка трех выведенных аксиом при помощи понятий элемента и части.
- •§ 49. Аксиома самотождественного различия в теории вероятностей.
- •§ 51. Аксиома подвижного покоя в геометрии.
- •§ 52. Аксиома подвижного покоя в теории множеств.
- •§ 53. Аксиома подвижного покоя в теории вероятностей.
- •§ 55. Аксиома определенности (закона) бытия в геометрии.
- •§ 56. Аксиома определенности (закона) бытия в теории множеств.
- •§ 57. Аксиома определенности (бытия) в теории вероятностей.
- •§ 58. Общий результат аксиом идеальной едино–раз–дельности числа.
- •§ 60. Аксиоматическая диалектика непрерывности.
- •§ 61. Аксиома непрерывности в отдельных математических науках.
- •§ 62. Взаимодействие аксиом едино–раздельности и становления.
- •§ 63. Продолжение.
- •§ 65. Аксиома ставшего числового бытия в арифметике.
- •§ 66. Аксиома ставшего числового бытия в геометрии.
- •§ 67. Аксиома ставшего числового бытия в теории множеств.
- •§ 68. Аксиома ставшего числового бытия в теории вероятностей.
- •§ 70. Аксиома выражения в арифметике.
- •§ 71. Аксиома выражения в геометрии.
- •§ 72. Аксиома выражения в теории множеств.
- •§ 73. Аксиома выражения в теории вероятностей.
- •IV. Функция и соседние категории (число как суждение, умозаключение, доказатеЛbСтво и выражение)
- •§ 75. |Суждение и определение].
- •§ 76. Понятие функции[111].
- •§ 77. Функционал и алгоритм (уравнение).
- •§ 78. Общность полученных категорий.
- •V. Переход к специаЛbНой теории числа
- •§ 79. Перевод математики на язык логики.
- •§ 80. Общая схема.
- •§ 82. Терминологические замечания.
- •§ 86. А) Безграничное конкретное множество; b) равенство (неравенство).
- •§ 87. С) Порядковость.
- •§ 88. Резюме и дедукция натурального ряда.
- •§ 89. Диалектическая формула натурального ряда.
- •§ 90. Переход к типам числа.
- •§ 92. B) Отрицательное число.
- •§ 93. С) Нуль.
- •§ 95. В) Дробное число.
- •§ 96. С) Бесконечность.
- •§ 97. Продолжение.
- •§ 98. Продолжение (о форме бесконечности).
- •§ 101. Постоянная, переменная, непрерывная и прерывная величина.
- •§ 102. Предел.
- •§ 103. Продолжение.
- •§ 104. Переход к мнимости.
- •§ 105. [С)] Мнимая (комплексная) величина. Общее понятие.
- •§ 106. Гауссовское представление.
- •§ 107· Некоторые детали.
- •О методе бесконечно-малых в логике предисловие
- •1. Вступление
- •2. ВеЩb — аргумент и отражение—функция
- •3. Изменения этих аргумента и функции и отношение между этими изменениями
- •4. Значение теории пределов для логики
- •5. Ленин о пределе, об общем и о законе
- •6. Примеры из наук
- •7. ДаЛbНейшие категории математического анализа и их применение в логике
- •8. Производная в логике
- •9. Преимущества инфинитезимаЛbНого учения о понятии в сравнении с традиционным формаЛbНо–логическим
- •10. Дифференциал в логике
- •11. Интеграл в логике
- •12. Производная, дифференциал и интеграл на фоне общего учения о числе
- •13. Три аспекта теории бесконечно–малых в применении к логике
- •14. Жизненно–логическое значение математического анализа
- •15. ИнфинитезимаЛbНо–логический словаРb
- •16. ЗаключитеЛbНые замечания
- •Некоторые элементарные размышления к вопросу о логических основах исчисления бесконечно-малых
- •I. Логика исчисления бесконечно–малых как отражение социаЛbНой действитеЛbНости[219]
- •II. Исчисление бесконечно–малых и его основные категории
- •III. ДифференциаЛbНое и интеграЛbНое исчисление. Их логический состав
- •Математика и диалектика.
- •Метаматематика алексея лосева
- •§ 1. Недостающее звено
- •§ 2. «В траншеях ленинской диалектики»
- •§ 3. У последних «как» и «почему»
- •§ 4. Аксиоматика и метаматематика
- •§ 5. Диалектика как точная наука
- •§ 6. Вместо заключения
- •Примечания
§ 13. Число относится к чисто смысловой сфере.
Итак, число не есть ни объективное бытие, ни субъективное, ни в каком ни общем, ни частном значении объекта и субъекта. Что же оно тогда есть?
В философии много раз формулировалась сфера, которая не есть ни объект, ни субъект. Нужно сказать, что самое противостояние объекта и субъекта, в особенности с такой болезненностью и напряженностью, характерно отнюдь не для всех эпох философии, а характерно главным образом для европейского типа, кульминирующего к тому же в XIX и начале XX в. Уже теперь, в начале второй четверти XX в., это противостояние значительно поблекло; и философы заняты сейчас проблемами, которые они считают гораздо более важными и принципиальными. В связи с этим большой популярностью пользуется теперь в философии та область, которая не субъективна и не объективна, область, в которой это разделение или бесполезно, или несущественно. Нужно сказать, что эта область весьма обширна и содержит в себе несколько резко отличающихся один от другого типов своего построения. Так, Единое в смысле Плотина есть то, в чем субъект и объект содержатся в одной, абсолютно неразличимой точке и где их антитеза еще не развернута и даже не положена. Затем, то, что неоплатоники называют «душой», также не есть ни субъект, ни объект, потому что предшествует этой антитезе. К какой же области субъектно–объектного безразличия относится число?
Число есть, несомненно, смысл, относится к смысловой сфере. Здесь не место вскрывать подробно существо этой сферы. Но основное качество ее вполне очевидно и даже примитивно. Это основное качество есть качество значимости. Смысл не есть, но значит.
Для грубо натуралистического ума это, конечно, не может быть сразу понятным. Однако необходимо научиться полно и раздельно мыслить себе эту смысловую сферу. Смысл нигде не находится и не находится как определенное «когда», и тем не менее он определяет собою все пространственно–временные свойства вещи. Смысл этой, напр., вещи, на которой я сейчас пишу, — бумаги — заключается в том, что это есть одно из средств для осуществления письменности. Но эта значимость, находясь во всей бумаге, отнюдь не находится в каком–нибудь определенном пространственном месте ни этого листа бумаги, ни всех листов, какие только были, есть и будут на свете. Если мы представим себе, что эта значимость, или смысл, существует объективно–вещественно в обыкновенном смысле, мы впадем в метафизический идеализм, не выдерживающий критики, как и всякая грубая натурализация. Если же мы скажем, что эта значимость вообще никак не существует, то тогда окажется, что данный лист бумаги вовсе не означает листа бумаги и что, следовательно, лист бумаги не есть лист бумаги. Это было бы нелепо. Следовательно, смысл (значимость) как–то существует, но существует не как вещь, а лишь как значимость вещи, которая сразу и везде, и нигде. Об этом смысле уже нельзя говорить, что он субъективен или объективен, но только то, что он есть значимость. Это особая форма бытия, возникшего на почве субъективно–объективного безразличия.
Оно станет сразу понятным, как только мы отнесемся к нему непредубежденно и серьезно. В самом деле, что может быть понятнее, наивнее и проще того простого факта, что каждая вещь что–нибудь значит? Тут ровно нет никакой теории, никакой науки, а только самое обычное, повседневное, чисто человеческое усмотрение. Нужно только чуть–чуть абстрагироваться от самой вещи, и мы поймем, что такое ее значимость. Конечно, значение вещи в реально–повседневном употреблении совершенно неотделимо от самой вещи. Но никто не может запретить анализировать вещи как угодно абстрактно, при условии что получаемые при таком анализе абстрактные моменты не будут овеществляться в своей изолированности и не возникнет туг натуралистической метафизики. Смысл, значимость, — абстрактный момент в цельном бытии, но каждая абстракция должна обсуждаться отдельно, так как наука только тогда и возникает, если есть разложение целого на отдельные абстрактные моменты и изучение каждого из этих моментов в отдельности.
Субъект–объектное безразличие смысла можно усвоить и на ряде других общепонятных явлений. Пусть мы имеем какой–нибудь закон или норму, пусть хотя бы из области права. Всякий такой закон не есть ни законодатель, его создавший, ни бумага, на которой он нанисан или напечатан, ни преступник, попавший под действие этого закона, ни его преступление. И вообще никакая ни субъективная, ни объективная качественность никак не характерна для этого закона. Сущность данного закона заключается только в его значимости, в его определенной смысловой установленности, и больше ничего.
К этой–то чисто смысловой области и относится число, взятое в своем существе.