- •Введение (общее разделение наук о числе)
- •§ 1. Первая противоположность: чистая математика и математическое естествознание.
- •§ 2. Число как факт духовной культуры.
- •§ 3. Психо–биология и социология числа.
- •§ 4. Философия числа.
- •§ 5. История наук о числе.
- •§ 6. Общая схема диалектического разделения основных наук о числе.
- •§ 7. Разделение философии числа.
- •§ 8. Диалектические основы математики.
- •§ 9. Разделение их.
- •Общая теория числа
- •§ 10. Вступление.
- •I. Отграничения (установка числового перво–принципа)
- •§ 11. Число не есть ни что–нибудь вещественно–качественное, ни вообще объективное.
- •§ 12. Число не есть что–нибудь субъективное.
- •§ 13. Число относится к чисто смысловой сфере.
- •§ 14. Число и понятие.
- •§ 15. Число есть самый акт смыслового полагания, а не содержание этого полагания.
- •§ 16. Число, количество и величина.
- •II. ФундаментаЛbНый анализ числа (число как чистое понятие)
- •§ 17. Первая установка.
- •§ 18. «Нечто» и переход его в «это».
- •§ 19. «Иное этого»; различие, тождество, движение, покой.
- •§ 20. «Ничто» и абсолютно самотождественная неразличимость актов полагания—перво–принцип числа.
- •§ 21. Основная диалектика понятия числа.
- •§ 22. Аналогии.
- •§ 23. Основа всего — диалектическая жизнь перво–ак–та.
- •§ 24. Проверка на функциях натурального ряда.
- •§ 25. Проверка на отдельном числе.
- •§ 26. Диалектика различия, тождества, движения и покоя в числе.
- •§ 27. Формула понятия числа.
- •§ 28. Сущность числовой модификации общесмыслового эйдоса.
- •§ 29. Отграничение понятия числа сверху.
- •§ 30. Отграничение понятия числа снизу.
- •§ 31. Итог фундаментального анализа.
- •III. Основные аксиомы числа (число как суждение)
- •§ 33. Сущность математической аксиоматики.
- •§ 34. Разделение всей общей теории числа и место аксиоматики в ней.
- •§ 35. Общая основа всех аксиом.
- •§ 37. Неразличимость как принцип различимости.
- •§ 38. Неразличимость как принцип конкретной числовой индивидуальности.
- •§ 39. Самосозидание.
- •§ 40. Везде и нигде.
- •§ 41. Число и время.
- •§ 42. Число и музыка.
- •§ 43. Формула перво–принципа.
- •§ 46. Аксиома самотождественного различия в геометрии.
- •§ 47. Аксиома самотождественного различия в теории множеств.
- •§ 48. Формулировка трех выведенных аксиом при помощи понятий элемента и части.
- •§ 49. Аксиома самотождественного различия в теории вероятностей.
- •§ 51. Аксиома подвижного покоя в геометрии.
- •§ 52. Аксиома подвижного покоя в теории множеств.
- •§ 53. Аксиома подвижного покоя в теории вероятностей.
- •§ 55. Аксиома определенности (закона) бытия в геометрии.
- •§ 56. Аксиома определенности (закона) бытия в теории множеств.
- •§ 57. Аксиома определенности (бытия) в теории вероятностей.
- •§ 58. Общий результат аксиом идеальной едино–раз–дельности числа.
- •§ 60. Аксиоматическая диалектика непрерывности.
- •§ 61. Аксиома непрерывности в отдельных математических науках.
- •§ 62. Взаимодействие аксиом едино–раздельности и становления.
- •§ 63. Продолжение.
- •§ 65. Аксиома ставшего числового бытия в арифметике.
- •§ 66. Аксиома ставшего числового бытия в геометрии.
- •§ 67. Аксиома ставшего числового бытия в теории множеств.
- •§ 68. Аксиома ставшего числового бытия в теории вероятностей.
- •§ 70. Аксиома выражения в арифметике.
- •§ 71. Аксиома выражения в геометрии.
- •§ 72. Аксиома выражения в теории множеств.
- •§ 73. Аксиома выражения в теории вероятностей.
- •IV. Функция и соседние категории (число как суждение, умозаключение, доказатеЛbСтво и выражение)
- •§ 75. |Суждение и определение].
- •§ 76. Понятие функции[111].
- •§ 77. Функционал и алгоритм (уравнение).
- •§ 78. Общность полученных категорий.
- •V. Переход к специаЛbНой теории числа
- •§ 79. Перевод математики на язык логики.
- •§ 80. Общая схема.
- •§ 82. Терминологические замечания.
- •§ 86. А) Безграничное конкретное множество; b) равенство (неравенство).
- •§ 87. С) Порядковость.
- •§ 88. Резюме и дедукция натурального ряда.
- •§ 89. Диалектическая формула натурального ряда.
- •§ 90. Переход к типам числа.
- •§ 92. B) Отрицательное число.
- •§ 93. С) Нуль.
- •§ 95. В) Дробное число.
- •§ 96. С) Бесконечность.
- •§ 97. Продолжение.
- •§ 98. Продолжение (о форме бесконечности).
- •§ 101. Постоянная, переменная, непрерывная и прерывная величина.
- •§ 102. Предел.
- •§ 103. Продолжение.
- •§ 104. Переход к мнимости.
- •§ 105. [С)] Мнимая (комплексная) величина. Общее понятие.
- •§ 106. Гауссовское представление.
- •§ 107· Некоторые детали.
- •О методе бесконечно-малых в логике предисловие
- •1. Вступление
- •2. ВеЩb — аргумент и отражение—функция
- •3. Изменения этих аргумента и функции и отношение между этими изменениями
- •4. Значение теории пределов для логики
- •5. Ленин о пределе, об общем и о законе
- •6. Примеры из наук
- •7. ДаЛbНейшие категории математического анализа и их применение в логике
- •8. Производная в логике
- •9. Преимущества инфинитезимаЛbНого учения о понятии в сравнении с традиционным формаЛbНо–логическим
- •10. Дифференциал в логике
- •11. Интеграл в логике
- •12. Производная, дифференциал и интеграл на фоне общего учения о числе
- •13. Три аспекта теории бесконечно–малых в применении к логике
- •14. Жизненно–логическое значение математического анализа
- •15. ИнфинитезимаЛbНо–логический словаРb
- •16. ЗаключитеЛbНые замечания
- •Некоторые элементарные размышления к вопросу о логических основах исчисления бесконечно-малых
- •I. Логика исчисления бесконечно–малых как отражение социаЛbНой действитеЛbНости[219]
- •II. Исчисление бесконечно–малых и его основные категории
- •III. ДифференциаЛbНое и интеграЛbНое исчисление. Их логический состав
- •Математика и диалектика.
- •Метаматематика алексея лосева
- •§ 1. Недостающее звено
- •§ 2. «В траншеях ленинской диалектики»
- •§ 3. У последних «как» и «почему»
- •§ 4. Аксиоматика и метаматематика
- •§ 5. Диалектика как точная наука
- •§ 6. Вместо заключения
- •Примечания
§ 3. Психо–биология и социология числа.
Для большинства яснее всего то обстоятельство, что в истории действуют люди, личности. Хотя отдельные личности и субъекты отнюдь еще не есть история и даже объединение субъектов не есть еще история, тем не менее сам по себе факт совершенно несомненный, что в истории действуют личности и субъекты. Возьмем эту несомненную сторону духовно–исторической деятельности человека и зафиксируем ее под названием психо–биологии числа. Сюда должны быть отнесены все биологические, физиологические, рефлексологические, психологические и пр. рассуждения, связанные с понятием отдельного, изолированного субъекта.
Можно только подивиться, как это люди, претендующие на научный объективизм, ограничиваются в изучении того или иного явления духовной культуры, например, одним рефлексологическим или психологическим подходом. Под этим лежит чисто индивидуалистическая и весьма абстрактная метафизика, закрывающая глаза на подлинную действительность изучаемого явления как факта духовной культуры. При полной законченности и самостоятельности всех этих психо–биологических наук они совершенно не имеют ничего общего с конкретно–историческим подходом и могут считаться только одним из многих абстрактных моментов, входящих в общее конкретное знание о числе.
Этой субъективно–человеческой действительности числа противостоит объективно–человеческая, или социологическая, действительность числа. В математическом естествознании мы тоже имеем объективность числа. Но там это была природная, естественная, физически–материальная действительность числа, противостоящая чистой идее числа, которая уже не объективна и не субъективна, ибо одинаково присуща и всякому объекту, и всякому субъекту. Не–объективная и не–субъективная, чистая идея числа, переходя в свое инобытие, превращается прежде всего в физически–материальное, пространственно–временное число.
По сравнению с чистой идеей это есть, конечно, гораздо большая реальность и конкретность числа. Однако реальность здесь вполне бессознательная, слепая. Собственно говоря, бессознательно и слепо также и чистое число, поскольку оно есть только определенная логиче–екая структура, создаваемая кем–то извне, не самим числом или числовым субъектом. В логической структуре числа не содержится ровно никаких непосредственных указаний, зафиксированных категориально относительно того, откуда получилась эта структура, где сознание работало над ее созданием и какая историческая действительность ее породила. В этом смысле и логика числа, и математическое естествознание совершенно бессознательны и слепы. Здесь дух человеческий создает самое число, но еще не рефлектирует над своим творчеством, еще не относится сознательно к процессу своего творчества. Он рефлектирует пока еще над числом как над некоей предметной структурой, но отнюдь не над самим актом создания этой предметной структуры, не над собственным сознанием, которое эту структуру создавало.
В психо–биологии, а также в социологии мы впервые сталкиваемся уже с подлинным человеческим творчеством, сталкиваемся с самим сознанием человека, творящим число и размышляющим над ним. Психо–биология и социология числа суть две уже чисто человеческие точки зрения на число, одна—субъективная, личная, другая— объективная, безличная и внеличная. Социологию в этом смысле надо резко противополагать всем психобиологическим дисциплинам и всячески изгонять из нее малейшие индивидуалистические подходы. Социология есть социология, а общество тем и отличается от индивидуума, что оно — вне–индивидуально, над–индивиду–ально, совершенно не считается с индивидуумом и совершает свой путь не только помимо воли и знания отдельных индивидуумов, но часто и совершенно вопреки этой воле и этому знанию. Социальная действительность меняется независимо от отдельных личностей. Отдельные субъекты могут говорить и делать что угодно, но все же общий результат и самый смысл этих слов и действий будет только тот, который продиктован очередной социальной категорией. Люди ставят себе свои сознательные цели и действуют в соответствии с теми или другими своими личными убеждениями или, по крайней мере, настроениями, но получается от этого нечто такое, что им и не приходило в голову. Ибо таково веление данной социальной действительности. Можно, например, лично очень любить или ненавидеть данный режим, и возможно, что даже подавляющее большинство его ненавидит; и все же он не только может от этого не разрушаться, но он может при этом крепчать и усиливаться до колоссальных размеров. Также и склонность большинства к данному культурно–социальному типу ровно ничего не решает в вопросе о судьбе этого типа. Социальная действительность, повторяю, потому и есть социальная, что она вне–индивидуальная, т. е. по самому существу своему не зависит от воли, знания, настроения и пр. психологических явлений в отдельных субъектах, даже если брать все субъекты вместе. Целое ведь нигде не делится механически на отдельные изолированные части и не возникает из них, если оно действительно живой организм, а не механизм. Социальная действительность потому тоже не делится на отдельных индивидуумов и не возникает из них, хотя, быть может, в ней и нет ничего, кроме этих индивидуумов. Это обычное отношение целого и частей.
