
- •Введение (общее разделение наук о числе)
- •§ 1. Первая противоположность: чистая математика и математическое естествознание.
- •§ 2. Число как факт духовной культуры.
- •§ 3. Психо–биология и социология числа.
- •§ 4. Философия числа.
- •§ 5. История наук о числе.
- •§ 6. Общая схема диалектического разделения основных наук о числе.
- •§ 7. Разделение философии числа.
- •§ 8. Диалектические основы математики.
- •§ 9. Разделение их.
- •Общая теория числа
- •§ 10. Вступление.
- •I. Отграничения (установка числового перво–принципа)
- •§ 11. Число не есть ни что–нибудь вещественно–качественное, ни вообще объективное.
- •§ 12. Число не есть что–нибудь субъективное.
- •§ 13. Число относится к чисто смысловой сфере.
- •§ 14. Число и понятие.
- •§ 15. Число есть самый акт смыслового полагания, а не содержание этого полагания.
- •§ 16. Число, количество и величина.
- •II. ФундаментаЛbНый анализ числа (число как чистое понятие)
- •§ 17. Первая установка.
- •§ 18. «Нечто» и переход его в «это».
- •§ 19. «Иное этого»; различие, тождество, движение, покой.
- •§ 20. «Ничто» и абсолютно самотождественная неразличимость актов полагания—перво–принцип числа.
- •§ 21. Основная диалектика понятия числа.
- •§ 22. Аналогии.
- •§ 23. Основа всего — диалектическая жизнь перво–ак–та.
- •§ 24. Проверка на функциях натурального ряда.
- •§ 25. Проверка на отдельном числе.
- •§ 26. Диалектика различия, тождества, движения и покоя в числе.
- •§ 27. Формула понятия числа.
- •§ 28. Сущность числовой модификации общесмыслового эйдоса.
- •§ 29. Отграничение понятия числа сверху.
- •§ 30. Отграничение понятия числа снизу.
- •§ 31. Итог фундаментального анализа.
- •III. Основные аксиомы числа (число как суждение)
- •§ 33. Сущность математической аксиоматики.
- •§ 34. Разделение всей общей теории числа и место аксиоматики в ней.
- •§ 35. Общая основа всех аксиом.
- •§ 37. Неразличимость как принцип различимости.
- •§ 38. Неразличимость как принцип конкретной числовой индивидуальности.
- •§ 39. Самосозидание.
- •§ 40. Везде и нигде.
- •§ 41. Число и время.
- •§ 42. Число и музыка.
- •§ 43. Формула перво–принципа.
- •§ 46. Аксиома самотождественного различия в геометрии.
- •§ 47. Аксиома самотождественного различия в теории множеств.
- •§ 48. Формулировка трех выведенных аксиом при помощи понятий элемента и части.
- •§ 49. Аксиома самотождественного различия в теории вероятностей.
- •§ 51. Аксиома подвижного покоя в геометрии.
- •§ 52. Аксиома подвижного покоя в теории множеств.
- •§ 53. Аксиома подвижного покоя в теории вероятностей.
- •§ 55. Аксиома определенности (закона) бытия в геометрии.
- •§ 56. Аксиома определенности (закона) бытия в теории множеств.
- •§ 57. Аксиома определенности (бытия) в теории вероятностей.
- •§ 58. Общий результат аксиом идеальной едино–раз–дельности числа.
- •§ 60. Аксиоматическая диалектика непрерывности.
- •§ 61. Аксиома непрерывности в отдельных математических науках.
- •§ 62. Взаимодействие аксиом едино–раздельности и становления.
- •§ 63. Продолжение.
- •§ 65. Аксиома ставшего числового бытия в арифметике.
- •§ 66. Аксиома ставшего числового бытия в геометрии.
- •§ 67. Аксиома ставшего числового бытия в теории множеств.
- •§ 68. Аксиома ставшего числового бытия в теории вероятностей.
- •§ 70. Аксиома выражения в арифметике.
- •§ 71. Аксиома выражения в геометрии.
- •§ 72. Аксиома выражения в теории множеств.
- •§ 73. Аксиома выражения в теории вероятностей.
- •IV. Функция и соседние категории (число как суждение, умозаключение, доказатеЛbСтво и выражение)
- •§ 75. |Суждение и определение].
- •§ 76. Понятие функции[111].
- •§ 77. Функционал и алгоритм (уравнение).
- •§ 78. Общность полученных категорий.
- •V. Переход к специаЛbНой теории числа
- •§ 79. Перевод математики на язык логики.
- •§ 80. Общая схема.
- •§ 82. Терминологические замечания.
- •§ 86. А) Безграничное конкретное множество; b) равенство (неравенство).
- •§ 87. С) Порядковость.
- •§ 88. Резюме и дедукция натурального ряда.
- •§ 89. Диалектическая формула натурального ряда.
- •§ 90. Переход к типам числа.
- •§ 92. B) Отрицательное число.
- •§ 93. С) Нуль.
- •§ 95. В) Дробное число.
- •§ 96. С) Бесконечность.
- •§ 97. Продолжение.
- •§ 98. Продолжение (о форме бесконечности).
- •§ 101. Постоянная, переменная, непрерывная и прерывная величина.
- •§ 102. Предел.
- •§ 103. Продолжение.
- •§ 104. Переход к мнимости.
- •§ 105. [С)] Мнимая (комплексная) величина. Общее понятие.
- •§ 106. Гауссовское представление.
- •§ 107· Некоторые детали.
- •О методе бесконечно-малых в логике предисловие
- •1. Вступление
- •2. ВеЩb — аргумент и отражение—функция
- •3. Изменения этих аргумента и функции и отношение между этими изменениями
- •4. Значение теории пределов для логики
- •5. Ленин о пределе, об общем и о законе
- •6. Примеры из наук
- •7. ДаЛbНейшие категории математического анализа и их применение в логике
- •8. Производная в логике
- •9. Преимущества инфинитезимаЛbНого учения о понятии в сравнении с традиционным формаЛbНо–логическим
- •10. Дифференциал в логике
- •11. Интеграл в логике
- •12. Производная, дифференциал и интеграл на фоне общего учения о числе
- •13. Три аспекта теории бесконечно–малых в применении к логике
- •14. Жизненно–логическое значение математического анализа
- •15. ИнфинитезимаЛbНо–логический словаРb
- •16. ЗаключитеЛbНые замечания
- •Некоторые элементарные размышления к вопросу о логических основах исчисления бесконечно-малых
- •I. Логика исчисления бесконечно–малых как отражение социаЛbНой действитеЛbНости[219]
- •II. Исчисление бесконечно–малых и его основные категории
- •III. ДифференциаЛbНое и интеграЛbНое исчисление. Их логический состав
- •Математика и диалектика.
- •Метаматематика алексея лосева
- •§ 1. Недостающее звено
- •§ 2. «В траншеях ленинской диалектики»
- •§ 3. У последних «как» и «почему»
- •§ 4. Аксиоматика и метаматематика
- •§ 5. Диалектика как точная наука
- •§ 6. Вместо заключения
- •Примечания
§ 23. Основа всего — диалектическая жизнь перво–ак–та.
Итак, супра–акт, полагая себя, переходит в акт полагания, в утверждение, причем это есть одновременно появление инобытия, или акта отрицания, окружающего это утверждение и дающего ему границу, полученный акт полагания рассматривается теперь в своей ограниченности и определенности, т. е. происходит утверждение и полагание самой границы, причем обыкновенно появляется фиксация того, что внутри этой границы. И первый, и второй акты должны быть описаны и с другой стороны. Супра–акт, как абсолютное тождество, не содержит в себе никакого различия; и если это различие появляется в результате самопоглощения супра–акта, то необходимо сказать, что различие (а значит, и само инобытие) появляется из недр все того же супра–акта и полагание супра–акта не только есть его самополагание, но и его творческая энергия; это есть самосозидание супра–акта и созидание, порождение им из себя и утверждения (акта бытия), и отрицания (инобытия). Итак, супра–акт есть возникающее самосозидание первополагающего акта, переходящего одновременно с этим самосозиданием в антитезу бытия–небытия, или утверждения–отрицания («этого» и «иного»).
Точно так же и второй акт, акт полагания самой антитезы бытия–небытия, отнюдь не обладает тем статическим характером, которым отличается вообще понятие границы. Граница сама по себе есть, конечно, нечто абсолютно устойчивое и неподвижное; без этого она не была бы границей. Но полагание границы выдвигает фиксацию того, что содержится внутри границы, превращая это содержание в обозримую и, следовательно, дробимую и делимую величину. С возникновением дробимо–сти возникает и бесконечное движение внутри содержания в смысле образования все более и более мелких частей, образуется становление внутри очерченной границы, равно как и становление данной структуры в целом. Взявши там или здесь какой–нибудь определенный момент этого становления или все, какие только возможны, моменты становления данной структуры в целом, мы получаем уже ставшее, где налицо остановившееся становление, или результат становления. Таким образом, как супра–акт творчески создает себя и свое инобытие, так граница (результат супра–актного самополагания) творчески создает себя и свое инобытие, образуя становящуюся границу и ставшую определенность отдельных моментов становления и всех вместе.
Супра–акт есть сверх–число, самосозидающаяся, творческая энергия числа вообще, присутствующая во всех числах, составляющая их идеальную, первоскрепляющую субстанцию и создающая внутреннюю энергию числа, счета и всех числовых операций. Антитеза полагания и отрицания впервые ориентирует супра–актную энергию как нечто раздельное на необозримом поле инобытия. И наконец, фиксация самой этой антитезы приводит эту раздельность в определенную систему полаганий, являющуюся тем, что мы и называем числом, поскольку последнее есть и подвижная, и устойчивая система пола–ганий, точно ориентированная на фоне окружающего инобытия.
Этим определяется форма функционирования супра–акта в каждой из выведенных нами диалектических категорий. Супра–акт, вообще говоря, есть принцип единичности, принцип творчески порождающей единичности. В голом виде это есть принцип абсолютного единства (самотождества) всех возможных актов полагания вообще. Все, что существует после него, порождается им самим, ибо потому он и есть абсолютная единичность, что без него и помимо него вообще ничего не существует. Он, стало быть, содержится решительно в каждой категории; и он не только содержится, но он — субстанция и основа всякой категории; всякая категория есть только та или иная модификация этого единого и первоначального перво–принципа. Во второй стадии диалектического процесса, когда вместо сверх–логического супра–акта появляется раздельный реальный акт, супра–акт функционирует как принцип координированной раздельности. В третьей стадии супра–акт, создавая становление, функционирует как принцип единства направления. Сам по себе он есть принцип единства вообще на стадии становления, он есть принцип единства направления. На дальнейшей стадии, превращаясь в ставшее, супра–акт оказывается принципом единства того, что достигнуто в результате движения в известном направлении. И когда данное направление пройдено и мысль фиксирует пройденный путь, созерцая также перспективу и возможного дальнейшего продвижения, — только теперь наконец супра–акт достигает своей полной развернутости и явлен–ности, и он тут уже не просто принцип единства и единичности вообще, не просто принцип любого самотождества и всех вообще возможных его видов, но принцип развернутой и явленной координированной раздельности, творчески выступающей из своих собственных недр и принципиально требующей своего признания и своего понимания.
Необходимо отметить тут еще следующее весьма важное обстоятельство. Энергия еще потому есть особая диалектическая категория, что она вовсе не есть простое механическое повторение пройденных пунктов, но она выставляет их в совершенно общем и уже по–своему, по–новому оформленном виде, — именно в понимаемом виде. Когда мы говорим «тысяча», мы вовсе не перебираем в уме всю тысячу отдельных актов полагания, но мы обязательно понимаем тысячу пройденных точек именно как тысячу, и уже эта понимаемая тысяча отнюдь не делится на тысячу частей, но есть абсолютно неделимая целостность. Перво–акт уже дает эту неделимость, но энергия дает ее в развернутом и демонстрированном виде. Это не принцип цельности, но сама развернутая цельность. И эта цельность и целостность имеет структуру уже не механической совокупности слепо возникших актов полагания, но — структуру понимаемой совокупности, для которой совсем не обязательно изолированное представление отдельных входящих в нее актов, но в которой все они тем не менее мыслятся со всей ясностью и четкостью.
Таков диалектический смысл того основного логического содержания понятия числа, которое мы выше, в §3, описательно и предварительно наметили в виде первых трех установок («нечто», «это», «иное этого»).