5. Свойства булевых функций

Свойства БФ достаточно просты и легко проверяются с помощью ТИ. Основные свойства БФ приведены в таблице на рис.1.5.1.

Проиллюстрируем некоторые свойства.

Свойство 3 – коммутативность представим в графическом виде на двух (правда, не двоичных) множествах на рис.1.5.2.

Двоичное множество имеет две ипостаси (рис.1.5.3):

• полное множество – единица, «1»;

• пустое множество – ноль, «0».

Представим эти множества в виде заполнения некоторой области вписанной в границы прямоугольника:

• Единицу представим в виде заштрихованного прямоугольника.

• Ноль – в виде пустого прямоугольника.

БФ будут представлять собой для соответствующих текущих состояний переменных:

• ИЛИ – наложение множеств;

• И – пересечение множеств (обнаружение общих площадей) при наложении множеств;

• НЕ – преобразование множества в противоположное.

Проиллюстрируем операции с константами для БФ:

• ИЛИ (рис.1.5.4) – результат центр фигуры;

• И (рис.1.5.5) – результат центр фигуры;

• НЕ (рис.1.5.6) – результат правая фигура.

Можно подобным образом проиллюстрировать и другие свойства БФ, но для выражений это трудоёмко, т.к. следует рисовать множества для всех сочетаний входных переменных, поэтому следует использовать ТИ. Графическое отображение приведено только для лучшего понимания материала.

Свойство 12 – склеивание можно подтвердить выкладками:

.

Свойство 11 – законы поглощения:

• ,

• .

Для закрепления материала самостоятельно составьте ТИ для выражений свойств БФ.

►Две БФ равны, если их значения совпадают на всех наборах аргументов.●

6. Нормальные формы представления бф

1. Дизъюнктивные представления

Определения.

►Терм БФ (конъюнкт) представляет собой конъюнкцию взятых с отрицаниями или без них двоичных переменных функции.●

►Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – представление БФ в виде дизъюнкции конъюнктов:

,

где K_i – терм БФ.●

►Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – ДНФ, каждый конъюнкт которой содержит в точности по одной двоичные переменные функции.●

►В СДНФ может быть представлена любая БФ за исключением тождественного нуля.●

►Представление БФ в СДНФ единственно.●

►Любая аналитическая запись БФ может быть преобразована в нормальную форму с использованием законов де Моргана и раскрытием скобок ●

Примеры.

• – СДНФ;

• – ДНФ.

2. Конъюнктивные представления

Определения.

►Терм БФ (дизъюнкт) представляет собой дизъюнкцию взятых с отрицаниями или без них двоичных переменных функции.●

►Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – представление БФ в виде конъюнкции дизнъюнктов:

,

где D_i – терм БФ.●

►Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – КНФ, каждый дизъюнкт которой содержит в точности по одной двоичные переменные функции.●

►В СКНФ может быть представлена любая БФ за исключением тождественной единицы.●

►Представление БФ в СДНФ единственно.●

Примеры.

• – СКНФ;

• – КНФ.

►Любая аналитическая запись БФ может быть преобразована в нормальную форму с использованием законов де Моргана и раскрытием скобок ●

22+9=31 час.