28. Уравнение прямой на плоскости.

Направляющий вектор прямой. Вектор нормали

Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через начало координат и прямые, параллельные координатным осям. Данную информацию можно найти в методичке Графики и свойства элементарных функций, я её создавал для матана, но раздел про линейную функцию получился очень удачным и подробным. Поэтому, уважаемые чайники, сначала разогрейтесь там. Кроме того, нужно обладать базовыми знаниями о векторах, иначе понимание материала будет неполным.

На данном уроке мы рассмотрим способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости. Рекомендую не пренебрегать практическими примерами (даже если кажется очень просто), так как я буду снабжать их элементарными и важными фактами, техническими приёмами, которые потребуются в дальнейшем, в том числе и в других разделах высшей математики.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Например, если прямая задана уравнением , то её угловой коэффициент: . Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:

В курсе геометрии доказывается, что угловой коэффициент п

28. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Пусть заданы две плоскости Q₁ и Q₂:

Под углом между плоскостями Q₁ и Q₂ понимается один из двугран­ных углов, образованных этими плоскостями.

Угол    между  нормальными  векторами     и    плоскостей Q₁ и Q₂равен одному из этих углов (см. рис. 72).

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскости Q₁ и Q₂ перпендикулярны    (см. рис. 73, а), то таковы же их нормали, т. е.            (и наоборот). Но тогда  , т. е.  . Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

Если плоскости Q₁ и Q₂ параллельны (см. рис. 73, б), то будут параллельны и их нормали   и   (и наоборот). Но тогда, как известно координаты векторов пропорциональны:  . Это и есть уcловиє параллельности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

29.Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

Их   направляющие   векторы   соответственно     и  (см. рис. 79).

Прямая L₁ проходит через точку   радиус-вектор которой обозначим через  ; прямая L₂ проходит через точку  , радиус-вектор которой обозначим через  . Тогда

        

Прямые L₁ и L₂ лежат в одной плоскости, если векторы  ,   и   компланарны. Условием компланарности векторов явля­тся равенство нулю их смешанного произведения:  , т. е.

      

При выполнении этого условия прямые L₁ и L₂ лежат в одной плоско­сти, то есть либо пересекаются, если  , либо параллельны, если  .