10. Вектор основные понятия
11.Координаты вектора....
Системы линейных однородных уравнений. Теоремы о нулевых и ненулевых решениях.
Ответы . Теорема. Для того чтобы система однородных уравнений имела нулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг n ее основной матрицы был меньше числа n неизвестный т.е r.
Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела нулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель D был равен нулю t.e D=0
12.Вектор. Основные понятия. Линейные операции над векторами в геометрической форме.
Ответ : Вектор- направленный отрезок. Величина которая определяет не только численное значение, но и направление. Называется Вектор.
Если модуль вектора =0, то вектор называется нулевым.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных.
Линейные операции над векторами:
I.Сложение векторов:
А) по правилу треугольника a+b=c
Б)по правилу параллелограмма
Чтобы сложить два вектора по правилу параллел. Их приводят к общему началу и достраивают до параллел.
В) по правилу многоугольника y=a+b+c
II.Вычитание векторов:
А) по правилу треугольника a-b=c
Б)по правилу треугольника
Чтобы вычесть два вектора по правилу параллел. Их приводят к общему началу и достраивают до параллел. c=a-b
III. Умножение вектора на скаляр
B=скаляр*a
13. Скалярное произведение векторов:
Скалярными
произведением 2-ух векторов a
и b
называется числом, равное произведению
модуля одного из них на проекцию на него
с другого вектора.
Скалярное произведение
векторов 
, 
обозначается
символом 
(порядок
записи сомножителей безразличен, то
есть 
).
Если
угол между векторами
,
обозначить
через 
,
то их скалярное произведение можно
выразить формулой
(1)
Скалярное произведение векторов , можно выразить также формулой
,
или 
.
Из
формулы (1) следует, что 
,
если
-
острый угол, 
,
если
-
тупой угол; 
в
том и только в том случае, когда
векторы
и
перпендикулярны
(в частности,
,
если 
или 
).
Скалярное
произведение 
называется
скалярным квадратом вектора и обозначается
символом 
.
Из формулы (1) следует, что скалярный
квадрат вектора равен квадрату его
модуля:
.
14. приложения скалярного произведения векторов
15.Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:
1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):
i х j = k, j х k = i, k х i = j.
Докажем, например, что iхj=k.
1) k^i, k^j;
2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;
3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).
Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).
Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb ) = (lа ) х b = а х (lb ).
Пусть l>0. Вектор l(ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторы l(ахb ) и ( lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
Поэтому l(a хb )= lахb . Аналогично доказывается при l<0.
3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.
В частности, i *i =j *j =k *k =0.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
(a+b) хс= ахс+b хс.
Примем без доказательства.
Выражение векторного произведения через координаты
Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :
если
направление кратчайшего пути от первого
вектора к второму совпадает с направлением
стрелки, то произведение равно третьему
вектору, если не совпадает — третий
вектор берется со знаком «минус».
Пусть заданы два вектора а=ахi +ayj +azk и b =bxi +byj +bzk . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):
Полученную формулу можно записать еще короче:
так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.
16.Некоторые приложения векторного произведения
1.Установление коллинеарности векторов
2.Нахождение площади параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а| * |b |sing , т. е. S пар = |а х b |. И, значит, DS =1/2|а х b |.
17.условуя перпендикулярности двух векторов
18.Условия коллинеарности двух векторов
Векторное произведение двух векторов а умножить на в =с . Векторным произведением двух векторов а и в называется новый вектор с ,который перпендикулярен а,в направлен так ,что векторы а,в,с образуют правую тройку векторов. Т.е если смотреть с конца на плоскость векторов а и в ,то кратчайший поворот от вектора а к вектору в должен быть виден против хода часовой стрелки
Свойства векторного произведения
Вектор а умножить на вектор в = минус вектор в умножить на вектор с
(а+в)*с=а*с+в*с
(4а)*в=а*(лямда в)=альфа*(а*в)