5.Произведение двух матриц. Пример.

Не всякие матрицы можно умножать. Перемножить можно две матрицы, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго.

Пример:

cij=ai1*b1j+ai2*b2j+.....+aip*bpj

короче) берём первую строку первой матрицы и поочерёдно её элементы перемнажаем с элементами первого, второго, третьего и т. д. столбца второй матрицы, затем берём вторую строку первой матрицы и делаем тоже самое

А m*p * B p*n = C m*n

Замечание: А*В неравно В*А

Свойства произведения матриц:

А*0 = 0*А=0

А*Е=Е*А=А

А+D*C=A*C+B*C

A*(B+C)=A*B+A*C

(A*B)*C=A*(B*C)

6.Нерырожденные матрицы. Обратная матрица...

Определение 14.8   Матрица   называется обратной матрицей для квадратной матрицы   , если   .         

Из определения следует, что обратная матрица   будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица   (иначе одно из произведений   или   было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы   обозначается   . Таким образом, если   существует, то   .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица   является обратной для матрицы   , то есть   . Про матрицы   и   можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

        Предложение 14.20   Если матрица   имеет обратную, то   и   .

       Доказательство.     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ( предложение 14.7), то   . По  следствию 14.1   , поэтому   , что невозможно при   . Из предыдущего равенства следует также   .      

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

Предложение 14.21   Если обратная матрица существует, то она единственна.

        Доказательство.     Пусть две матрицы   и   являются обратными для матрицы   . Тогда

   и

Следовательно,   .   

7. Формула Крамера

8.Решение слау матричным способом и методом Гауса

Решить матричным способом систему уравнений

                                                      x₁ - x₂ +  x₃ = 6,

                                                    2x₁ + x₂ + x₃ = 3,

                                                      x₁ + x₂ +2x₃ = 5.

Решение. Обозначим

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку  , то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

.

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A^1B. В данном случае

и, следовательно,

.

Выполняя действия над матрицами, получим:

                            x₁ = 1/5(16+33-25) = 1/5 (6+9-10) = 1,

                            x₂ = 1/5 (-36 +13 - 15) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

                            x₃ = 1/5 (16 - 23 + 35) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Итак, X = (1, -2, 3)^T.

9 Вопрос.Система линейных однородных ур-ий ее нетривиальное решение

а11*х1+а12*х2+а13*х3=0

а21*х1+а22*х2+а23*х3=0

а31*х1+а32*х2+а23*х3=0

Система наз-тся однородной если её правые части = 0

пусть определитель системы ∆не=0, тогда решение явл. тривиальным, т.е х1,х2,х3=0.

∆ = не=0

∆1 = =0

х1= =0

Для того чтобы однородная система с n линейных ур-ний с m неизвестными имела не 0-ые решения необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был =0.

Пусть ∆=0, но хотя бы один из миноров 2-ого порядка не равен 0, то система будет иметь бесконечно решений.