1. Определители 2-го и 3-го порядка. Определение, вычисление, свойства.

Определитель 2-го порядка есть число равного произведения элементов главной диагонали без произведений элементов побочной диагонали.

Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов стоящих га главной диагонали и вершине равнобедренного треугольника , основание которых параллельно главной диагонали без суммы произведений элементов побочной диагонали и вершин треугольников, основания которых параллельно побочной диагонали. Вычисление по правилу треугольника

Свойство 1. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка равны нулю, то и определитель равен нулю.

Свойство 2. Определитель 3-го порядка не изменится, если его строки заменить столбцами с теми же номерами.

Свойство 3. Если поменять местами две строки (столбца) определителя 3-го порядка, то абсолютная величина определителя не изменится, а знак изменится на противоположный

Свойство 4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка умножить на какое-либо число, то и определитель умножится на это число.

Свойство 5. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка представляет собой сумму двух слагаемых, то и определитель можно представить в виде суммы двух слагаемых, например:

2.Определители n-го порядка. Методы вычисления

Понятие определителя n-го порядка. В общем случае определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице n-го порядка, можно назвать число, равное сумме парных произведений элементов какой –либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения( краткое обозначение.

I. Перестановка двух столбцов (строк) определителя приводит к изменению его знака на противоположный.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) определителя на одно и то же число, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число.

III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) определителя соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель.

3. Минор и алгебр дополнение

Минор элемента а ij определителя называется определитель полученый из данного путем вычеркивания i той строки и j того столбца

Алгебраическим дополнением элемента а ij определителя называется выражение вида

Алгебраическое дополнение ij= ( -1) в степени I +j умноженное на минор ij

Aij= (-1) i+j * M ij

4. матрицы

Матрица – называется прямоугольная таблица чисел,состоящая из m строк и n столбцов.

Если в матрице число строк равно числу столбцов то она называется квадратной.

Линейные операции

1Сложение и вычитание матриц

Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров

A+B=C

Cij=aij+bij

A-B=D

2Умножение матрицы на число

При умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число

3 Умножение матрицы

Не всякие матрицы можно умножать

Перемножать две матрицы можно если 1 число столбцов 1 -го сомножителя = числу строк 2-го

4 Транспортирование матриц называется заменяя строк этой матрицы с ее столбцами с сохранением их размеров

Свойства опрераций над матрицами

1 AxO=OxA=O

2 AxE=ExA=A

3 (A+B)xC=AxC +BxC

4 Ax(B+C)=AB+AC

5 (AxB)xC=Ax(BxC)

6 Если А и В квадратная матрица одинакового порядка то det(AxB)=detAxdetB