1.1. Метод секущих плоскостей

В качестве секущих плоскостей используют проецирующие плоскости, проходящие как через собственную, так и несобственную прямую.

Пример 1. Построить линию пересечения полусферы и треугольной призмы.

Решение:

x₁₂

Пример 2. Построить линию пересечения поверхностей сферы и конуса вращения.

x12 Шешуі:
Пример 3. Построить линию пересечения поверхности тора с фронтальной
плоскостью α(α2) Решение:

1.2. Метод секущих сфер

Этот метод применяют, если пересекаются две поверхности вращения, обладающие общей плоскостью симметрии. Если оси поверхностей вращения пересекаются, то применяют метод концентрических сфер. Если оси поверхностей не пересекаются - метод эксцентрических сфер.

Пример 4. Построить линию пересечения поверхностей конуса вращения и цилиндра вращения.

Решение:

x₁₂

Пример 5. Построить линию пересечения поверхностей тора и конуса вращения.

Решение:

1.3. Взаимное пересечение поверхностей второго порядка.

Если поверхность m-порядка пересекается с поверхностью n-порядка, то линия их пересечения будет m·n порядка (теорема Безу). Из этого следует, что две поверхности второго порядка пересекутся по линии четвертого порядка. Действительно, секущая плоскость рассечет эти поверхности в четырех точках, а в четырех точках, как известно, пересекается только кривая четвертого порядка.

Теорема Монжа. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения - кривая четвертого порядка - распадется на две плоские кривые. Плоскости обеих кривых пересекаются по прямой, соединяющей точки пересечения линий касания.

Пример 6. Построить линию пересечения поверхностей конусов вращения, описанных вокруг сферы.

Решение:

2. Пересечение прямой и поверхности

Дано: прямая а и поверхность α;

Определить: а∩α=К¹, К², …

Алгоритм:

1. через прямую а проведем дополнительную секущую плоскость β: а β

2. определим линию пересечения: β∩α=k;

3. найдем точки пересечения прямой а линией k: а∩k=К¹, К², …

4. эти точки будут искомыми

Пример 7. Построить точки входа и выхода горизонтальной прямой h с поверхностью сферы с центром O(O1,O2). Решение: S1 a2 a2 S2

h2 h2 O2 O1 Пример 8. Построить точки входа и выхода прямой а(а1,а2) с поверх-ностью конуса вращения. Решение: