Выводы:
Интуитивное представление о числе появилось еще у первобытных людей. Сначала был устный счет предметов без записи числами.
Числа появились не сразу. Они появились в первых государствах, а не в племенах и общинах у первобытных людей.
Числа появились не в одном месте. Каждый народ придумывал свои обозначения чисел.
Числа бывают египетские, вавилонские, греческие, римские, арабские, древнееврейские и т.д. В современном мире используются в основном арабские и немного (чаще в датах) римские цифры.
1.3 Есть ли будущее у быстрого счета в мире счетных машин
В повседневной жизни, в бешеном ритме города, когда дорога каждая минута, очень важным является умение быстро и рационально провести вычисление устно, не допустив при этом ошибки и не используя никаких дополнительных средств.
Школьники сталкиваются с такой проблемой, повсеместно: и в школе на уроках, и в домашних условиях, в магазине и т.п. Поэтому крайне важным становится проблема формирования у них вычислительной культуры.
Рационализация вычислений требует, помимо знаний всех основных свойств арифметических действий над числами, элементарного желания «упростить себе жизнь», затратить на выполнение громоздкого по виду задания как можно меньше времени, увидеть самый короткий, но от этого не менее правильный, путь достижения результата.
Сознательное усвоение свойств арифметических действий – вот первая и очень ощутимая польза устных вычислений. При устных вычислениях развиваются такие ценные качества человека как внимание, сосредоточенность, выдержка, самостоятельность. Отсюда можно сделать вывод, что будущее у счета есть и еще много пользы принесет человеку.
1.4. Некоторые специальные приемы устных вычислений
Незнающие пусть научатся,
а знающие – вспомнят еще раз.
Античный афоризм.
Таблица приемов устных вычислений
№ п/п |
Выполняемое действие |
Пример |
1 |
Умножение на 4: число дважды удваиваем |
915·4=(915·2)·2=1830·2=3660 |
2 |
Деление на 4: число дважды делим на 2 |
1856:4=(1856:2):2=928:2=464 |
3 |
Умножение на 5: число умножаем на 10 и делим на 2 |
938·5=(938·10):2=9380:2=4690 |
4 |
Деление на 5: число умножаем на 2 и делим на 10 |
435:5=(435·2):10=870:10=87 |
5 |
Умножение на 25, 250, 2500, …: заменяем множитель 25, 250, 2500, … на частное 100: 4, 1000: 4, 10000: 4, … |
548·25=548·100:4=(548:4)·100)=13700 824·250=(824:4)·1000=206000 |
6 |
Умножение на 9, 99, 999, … 1 способ. Число умножаем на 10, 100, 1000, … и от результата отнимаем исходное число. 2 способ. От числа, которое умножаем на 9, 99, 999, … отнимаем 1, а справа приписываем другое число, каждая цифра которого дополняет соответствующую цифру разности до 9. |
548·9=548·10-548=5480-548=4932 73·99=73·(100-1)=7300-73=7227
73·99=7227 (73-1=72; 99-72=27) 87·999=86913 (87-1=86; 999-86=913) Примечание:2 способ не «работает» при умножении трехзначного числа на 9,99,но верен при умножении на 999, 9999 … 287 . 999 = 286713 287 . 9999 = 2869713 |
7 |
Умножение на 11; 111; 1111; … (для двузначных чисел, сумма цифр которых меньше 10)
|
35·111=3(3+5)(3+5)·5=3885 27·1111=2(2+7)(2+7)(2+7)·7=29997 |
8 |
Умножение на 11; 111; 1111; … (для двузначных чисел, сумма цифр которых превышает или равна 10)
|
93·111=9(9+3)(9+3)·3=10323 93·1111=9(9+3)(9+3)(9+3)3=103323 |
9 |
Умножение на 5; 50; 500… Заменяем множитель 5; 50; 500; … на частное 10:2; 100:2; 1000:2; …, делим исходное число на 2, затем результат умножаем на 10; 100; 1000; … |
968·500=(968·1000):2=968000:2=484000 |
10 |
Умножение чисел, близких к100, когда оба множителя меньше 100: Представляем каждый множитель в виде разности 100 и числа, дополняющего этот множитель до 100. Из первого множителя вычитаем «дополнение» второго, получаем число сотен ответа. Перемножаем «дополнения», получаем число единиц ответа. Умножение чисел, близких к100, когда оба множителя больше 100: Представляем каждый множитель в виде суммы 100 и числа, превышающего этот множитель 100. Прибавляем к одному из множителей число, превышающее 100 второго множителя , получаем число сотен ответа. Перемножаем «превышения», получаем число единиц ответа. Умножение чисел, близких к100, когда один множитель меньше 100, а другой больше 100. Представляем меньший множитель в виде суммы 100 и «превышения», а второй в виде разности и «дополнения», к меньшему множителю прибавляем «превышение» ( или от большего вычитаем «дополнение»), получаем число сотен искомого произведения, от которого вычитаем произведение «дополнения» и «превышения». |
9
«дополнения»
107 . 106 == (100+7)(100+6) == (107+6)42 = 11342
93 . 106 = (100-7)(100+6) = (93+6)00 – 42 = (106-7)00 – 42 = 9858.
75 . 123 = (100-25)(100+23) =9800 – 575 = 9225. |
11 |
Умножение трехзначного числа на 101: Увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к нему справа две последние цифры первого множителя. |
285·101=(285+2)85=28785 376·101=(376+3)76=37976 379·101=(379+3)79=38279 |
12 |
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5: Умножаем число десятков исходного числа на число десятков, увеличенное на 1, и к полученному числу справа приписываем 25. |
852 = (8·9)25=7225
3152 = (31·32)25=99225 |
13 |
Возведение в квадрат числа, близкого к 50, но большего 50. Припишем к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50. |
572 = 3249 57-25=32; 72 = 49 632 = 3800+169=3969 63-25=38; 63-50=13; 132 = 169 |
14 |
Возведение в квадрат числа, близкого к 50, но меньшего 50. Вычтем из этого числа 25, припишем к результату двумя цифрами квадрат недостатка данного числа до 50. |
472 = 2209 47-25=22 382 =1300+144=1444 38-25=13; 50-38=12; 122 = 144
|
8·93=(100-2)(100-7)=(98-7)+2·7=9114