Симплексный метод

Для применения симплекс-метода необходимо задачу представить в канонической форме. Для этого от системы неравенств необходимо перейти к системе равенств, введя в ограничения дополнительные переменные.

Представим систему ограничений в виде равенств:

4х₁+3х₂ +х₃ = 440

3х₁+4х₂ + х₄ = 393

3х₁+5х₂ + х₅ = 450

целевая функция будет иметь вид:

L = 6x₁ + 5x₂  min.

Система ограничений представляет собой систему из 3 уравнений (m=3) с 5 неизвестными (n=5). Такая система имеет бесконечное множество решений.

В матричной форме система ограничений будет иметь вид:

x₁A₁ +x₂A₂ + … + x_nA_n = P₀ ,

где A_j - векторы.

В системе, где m < n, (m – число уравнений, n – число неизвестных) m векторовA_j линейно независимы.

Решение x = (x₁, x₂, …, x_n), зависящее от любых m линейно независимых векторов, называется базисным решением системы (в нашем случае базис составляют m = 3 элемента решения, не равные нулю, а остальные 2 элемента решения равны нулю).

Неотрицательное базисное решение называется опорным планом.

Очевидно, что одним из решений системы является

x = (0, 0, 440, 393, 450).

Такой план соответствует тому, что изделия А и В не выпускаются и L = 0.

Составим симплекс-таблицу.

Базис	Сj. баз	Сj	6	5	0	0	0
		P0	A1	A2	A3	A4	A5
A3	0	440		3	1	0	0
A4	0	393	3	4	0	1	0
A5	0	450	3	5	0	0	1
	Lj	0	0	0	0	0	0
	j		-	-5	0	0	0

Определим L_j = c_jбаз*a_ij. L₁ = 4*0 + 3*0 + 3*0 = 0; L₂ = 3*0 + 4*0 + 5*0 = 0;

Определим _j = L_j – c_j. ₁ = 0 – 6 = -6; ₂ = 0 – 5 = -5; ₃ = 0 – 0 = 0 …

Поскольку ₁ и ₂ <0, план не оптимальный. Перейдем к новому опорному плану.

Определим вектор, который будем вводить в базис (A₁ или A₂). Это должен быть вектор, для которого произведение _j *_j наименьшее.

_j определяется как отношение свободных членов к положительным коэффициентам соответствующего вектора

Найдем _j для A₁:

₁ = min (b_i / a_ij) = min (440/4; 393/3; 450/3) = min(110; 131; 150) = 110.

Определим _j для A₂:

₂ = min (b_i / a_ij) = min (440/3; 393/4; 450/5) = min(146,6; 98,2; 90) = 90.

Определим произведения. Для A₁ ₁ *₁ = - 110 * 6 = -660. Для A₂ ₂ *₂ = 90 * 5 = -450. Наименьшее равно -660, таким образом, будем вводить в базис вектор A₁.

Из базиса следует выводить вектор, которому соответствует наименьшее отношение свободных членов к положительным коэффициентам вектора, вводимого в базис. Для A₁ ₁ = 110, что соответствует первой строке таблицы. Выводим вектор A₃.

Составим новую симплекс-таблицу.

Базис	Сбаз	Сj	6	5	0	0	0
		P0	A1	A2	A3	A4	A5
A1	6	110	1	3 /4	1/4	0	0
A4	0	63	0	7/4	-3/4	1	0
A5	0	120	0	11/4	-3/4	0	1
	Lj	660	6	18/4	6/4	0	0
	j		0	-2/4	6/4	0	0

Вектор, вводимый в базис, должен иметь коэффициенты 1, 0 , 0. Для получения 1 в главной строке новой таблицы разделим все коэффициенты строки, соответствующей выводимому вектору A₃ на 4. Чтобы второй элемент вектора A₁ был равен 0 (строку, соответствующую вектору A₄, получаем из его же строки в предыдущей таблице), умножим главную строку новой таблицы на –3 и сложим со второй строкой предыдущей таблицы.

-330	–3	-9/4	-3/4	0	0
393	3	4	0	1	0
63	0	7/4	-3/4	1	0
-330	–3	-9/4	-3/4	–0	-0
450	3	5	0	0	1
120	0	11/4	-3/4	0	1

Третью строку новой таблицы получим аналогично.

Таким образом, получен новый опорный план:

х = (110; 0; 0; 63; 120),

при котором функция цели

L = 6*110 + 5*0 = 660 – стала больше.

Проверим план на оптимальность, для чего определим L_j = c_j*a_i и _j = L_j – c_j.

Поскольку ₂= 2/4 > 0, план не оптимален.

Перейдем к новому опорному плану. Для этого введем в базис вектор A₂, так как для него ₂= -2/4 < 0.

Из базиса выводим вектор, которому соответствует наименьшее отношение свободных членов к положительным коэффициентам вектора A₂.

₁ = min (b_i / a_ij) = min (110/3; 252/7; 480/11) = min(146,7; 36; 44) = 36.

Выводим вектор A₄.

Составим новую таблицу.

Базис	Сбаз	Сj	6	5	0	0	0
		P0	A1	A2	A3	A4	A5
A2	5	36	0	1	-3/7	4/7	0
A5	0	21	0	0	12/28	-44/28	1
A1	6	83	1	0	16/28	-12/28	0
	Lj	678	6	5	9/7	2/7	0
	j		0	0	9/7	2/7	0

Вектор, вводимый в базис, должен иметь коэффициенты 1, 0 , 0. Для получения 1 в главной строке новой таблицы разделим все коэффициенты строки, соответствующей выводимому вектору A₄ на 7/4. Чтобы второй элемент вектора A₂ был равен 0 (строку, соответствующую вектору A₅, получаем из его же строки в предыдущей таблице), умножим главную строку новой таблицы на –11/4 и сложим с третьей строкой предыдущей таблицы. Для строки, соответствующей A₁, главную строку умножим на –3/4.

-99	0	-11/4	33/28	–44/28	0
120	0	11/4	-3/4	0	1
21	0	0	12/28	-44/28	1

-27	0	-3/4	9/28	–12/28	0
110	1	3/4	1/4	0	0
83	1	0	16/28	-12/28	0

Получен новый опорный план:

х = (83; 36; 0; 0; 21),

при котором функция цели

L = 6*83 + 5*36 = 678 – стала больше. Это свидетельствует о том, что с каждым шагом мы приближаемся к оптимальному решению, то есть улучшаем план.

Проверим новый план на оптимальность, определив оценки оптимальности _j.

Все _j ≥ 0, поэтому полученный план оптимальный. Функция цели

L_max = 678 грн.

Эта прибыль максимальна и может быть получена, если выпустить 83 изделия А и 36 изделий В.