МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

И НАУКИ УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА ИМЕНИ О.Н. БЕКЕТОВА

ЖУРАВЕЛЬ В.В., ВОРОНКОВ А.А.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ

ПО КУРСУ: ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ

Оптимизационные модели и методы

ХАРЬКОВ 2012

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Современный экономист должен знать и уметь использовать в повседневной работе новейшие экономико-математические методы и модели. Быстрое развитие и широкое применение средств вычислительной техники предопределяют требования к подготовке современного экономиста, который должен с помощью современных пакетов прикладных программ уметь анализировать сложные социально-экономические явления. Экономико-математическое моделирование - один из базовых курсов подготовки экономистов. Эта дисциплина основана на фундаменте знаний экономической теории, матричной алгебры, теории математической и общей статистики.

Для закрепления знаний по данному курсу и приобретения навыков, необходимых для построения и анализа экономико-математических моделей, для студентов заочного отделения предусмотрена контрольная работа. Контрольная работа включает перечень задач по основным темам курса, которые студенты выполняют самостоятельно. Контрольная работа должна быть оформлена в соответствии с установленными требованиями, обязательно должна соответствовать номеру варианта, содержать условия решаемых задач, необходимые расчеты и пояснения, выводы. Номер варианта определяется по последним цифрам номера зачетной книжки. После сдачи на проверку контрольная работа проверяется и при условии правильного решения допускается к защите студентом на экзамене. Если контрольная работа не зачтена, ее необходимо переработать в соответствии с представленными замечаниями.

Ввиду большого объема вычислений при построении и анализе экономико-математических моделей, в контрольных работах разрешается использовать современные пакеты прикладных статистических программ: STATISTICA, SPSS, SAS, Econometric Views, Mesosaur- Econometric, Excel и т. д.

При выполнении контрольной работы особое внимание следует обратить на базовые понятия, основные формулы расчетов характеристик экономико-математических моделей, примеры их построения и анализа, которые приведены ниже.

Пример. Планирование производства

Для изготовления двух видов изделий А и В используют три вида сырья. На производство единицы изделия А нужно израсходовать сырья первого типа 4 кг, второго – 3 кг и третьего - 3 кг. На производство единицы изделия В нужно израсходовать сырья первого типа 3 кг, второго – 4 кг и третьего – 5 кг. Производство обеспечено сырьем первого типа в количестве 440 кг, второго – 393 кг, третьего – 450 кг. Прибыль от реализации единицы готового изделия А равна 6 грн, изделия В – 5 грн.

Составить план производства изделий таким образом, чтобы получить наибольшую прибыль от реализации изделий.

Условие задачи (ИД) сведем в таблицу

	А	В	Запасы
S1	4	3	440
S2	3	4	393
S3	3	5	450

Обозначим число изделий А, которое необходимо изготовить, х₁, а изделий В – х₂. Очевидно, что запасы сырья ограничены равенствами:

4х₁+3х₂  440

3х₁+4х₂  393

3х₁+5х₂  450

Прибыль от реализации изделий А и В определится выражением:

L = 6x₁ + 5x₂  max

Таким образом, необходимо найти такие х₁ и х₂, которые удовлетворяют неравенствам и обращают в максимум целевую функцию L.

Геометрическое решение

Будем изображать пару значений переменных точкой с координатами x₁, x₂ (рис. 1). Так как переменные х₁, х₂ должны быть неотрицательными, то допустимые их значения лежат только выше оси Ох₁, (на которой х₂ = 0) и правее оси Ох₂ (на которой х₁ =0). Это мы отметим штриховкой, обозначающей «допустимую» сторону каждой оси.

Теперь построим на плоскости х₁0х₂ область допустимых решений или же убедимся, что ее не существует. Каждое уравнение ограничивает область допустимых решений. Положим в первом уравнении (1) х₁ = 0; получим уравнение прямой линии, первая точка которой:

3х₂ = 440, х₂ = 440 / 3 = 147 имеет координаты (0, 147),

вторая точка 4х₁ = 440, х₁ = 440 / 4 = 110 имеет координаты (110, 0).

Аналогично получим координаты точек для второго ограничения (131, 0) и (0; 98,25) и для третьего ограничения (150, 0) и (0, 90).

Рис. 1.

Полученная область является областью допустимых решений, т.е. любая точка области удовлетворяет неравенствам – условиям, и называется допустимым планом. Заметим, что этих решений — бесконечное множество, так как любая пара значений свободных переменных, взятая из ОДР, «годится».

Очевидно, что целевая функция L обращается в максимум в одной из вершин полученного многоугольника. Для определения этой вершины геометрическим методом построим градиент целевой функции вектор grad L = с{6,5}. Далее построим линию уровня, соответствующую L = 0; она проходит через начало координат и перпендикулярна вектору с. Назовем ее опорной прямой. Напомним, что линией уровня функции называется множество точек из ее области определения, в которых функция принимает одно и то же фиксированное значение. Градиентом функции называется вектор, указывающий направление ее наиболее быстрого возрастания. Перемещая опорную прямую в направлении вектора с={6,5}, видим, что наиболее отдаленной вершиной многоугольника является вершина А, в которой пересекаются неравенства 1 и 2. Определим ее координаты.

4х₁+3х₂ = 440 х₁ = 110 – 4/3 х₂

 

3х₁+4х₂  393 330 – 9/4 х₂ + 4 х₂ = 393

х₁ = 110 – 3*36 / 4 = 83



7/4 х₂ = 63; х₂ = 63*4/7 = 36.

Таким образом, для достижения максимальной прибыли необходимо выпустить 83 изделия А и 36 изделий В.

L_max = 6 * 83 + 5 * 36 = 498 + 180 = 678 грн.

Допустимое решение, при котором функция цели достигает экстремума, называется оптимальным планом.

Поскольку максимум L достигается в какой-то из вершин ОДР, в поисках оптимального решения можно ограничиться вершинами ОДР. Самый простой и очевидный метод решения оптимизационных задач – метод "простого перебора". Его можно применить, если число возможных вариантов решения, образующих множество Х, невелико. В этом случае можно просто вычислить величину L для каждого из вариантов, сравнить между собой полученные значения L и непосредственно указать один или несколько оптимальных вариантов.

Когда число возможных вариантов решения, образующих множество Х, велико, применяют методы "направленного перебора", суть которых сводится к тому, что оптимальное решение находится рядом последовательных "попыток" или "приближений", из которых каждое последующее приближает нас к искомому оптимальному.

Разработанные в теории линейного программирования вычислительные методы, в частности, «симплекс-метод», «двойственный симплекс-метод» и другие, позволяют находить оптимальное решение не «слепым» перебором, а «целенаправленным», с постоянным приближением к решению.