
- •Тема 1.1 Основні поняття
- •1.1.1. Множини точок на площині та в n-вимірному просторі
- •5.1.2. Означення функції багатьох змінних
- •1.1.3. Способи задання функції
- •1.1.4. Знаходження області визначення функції двох змінних
- •5.1.5. Границя функції двох змінних
- •5.1.6. Неперервність функції двох змінних
- •5.1.7. Властивості неперервної функції двох змінних
- •Термінологічний словник ключових понять
- •Навчальні завдання
- •Завдання для перевірки знань
- •Тема 1.2 Диференційовність функції двох змінних
- •1.2.2. Диференційовність функції двох змінних
- •1.2.4. Диференціювання складної функції
- •1.2.5. Дотична площина та нормаль
- •5.2.6. Похідна за напрямом. Градієнт
1.2.2. Диференційовність функції двох змінних
Означення. Функція називається диференційовною у точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:
,
де
А,
В
— числа, ,
— нескінченно малі при
.
Головна
лінійна частина приросту функції,
тобто
називається
повним
диференціалом функції
(точніше першим диференціалом)
двох змінних
у
точці
і позначається
.
Теорема
13.
Якщо функція
диференційовна в точці
,
тоді існують границі
та
і вони дорівнюють відповідно А
і В.
Означення.
Нехай функція
визначена в точ-
ці
і в її деякому околі. Якщо існує границя
,
то вона називається частинною
похідною за х (за
у)
функції
у точці
і позначається
,
або
,
або
.
Таким чином,
,
.
Із означення частинних похідних матимемо,
що вони шукаються за тими правилами, що
й похідні функції однієї змінної. Треба
лише пам’ятати, що при знаходженні
у
вважається сталою,
а при знаходженні
змінна х
вважається сталою.
Тепер можна сформулювати теорему 13 інакше:
Теорема 14 (необхідна умова диференційовності функції у точці).
Якщо
функція
диференційовна в точці
,
то в цій точці існують частинні похідні
і
.
Приклад.
Знайти
і
для функції
.
Знайдемо
.
Вважаючи, що
дістанемо:
.
При
знаходженні
вважаємо, що
Дістанемо:
.
Приклад.
Знайти
і
для функції
.
Знайдемо
,
вважаючи
Знайдемо
,
вважаючи
.
Приклад.
Для
функції
знайти
і
:
,
Диференціали
незалежних змінних збігаються з їхніми
приростами:
,
.
Тоді, як випливає із означення повного
диференціала
і теореми 13, повний диференціал функції
можна обчислити за формулою
.
Аналогічно
повний диференціал функції трьох
аргументів
обчислюється за формулою
.
Приклад.
Знайти
якщо
.
,
,
.
Отже,
.
Приклад.
Знайти
,
якщо
.
,
де
;
,
отже,
.
Геометричний
зміст частинних похідних. Якщо
функцію
,
що має частинні похідні в точці
,
розглядати за умови
,
то геометрично це означає, що поверхня
перетинається площиною
,
паралельно координатній площині
;
у перерізі дістаємо лінію. Тоді
є кутовим
коефіцієнтом дотичної
до зазначеного
перерізу
в точці
,
тобто
тангенсом
кута нахилу цієї дотичної до додатного
напряму
осі Ох.
Аналогічно,
є кутовим коефіцієнтом дотичної, що
проходить через точку
,
до кривої, яка утворюється в результаті
перетину поверхні
з площиною
.
1.2.3. Достатня умова диференційовності функції двох змінних у точці
Для функції однієї змінної твердження щодо її диференці- йовності та існування похідної є рівносильними. У випадку функції двох змінних ми маємо інше: існування частинних похідних — необхідна умова диференційовності функції в точці, але не є достатньою умовою диференційовності: наприклад, для функції
у
точці (0; 0):
,
.
Але ця функція розривна в точці (0; 0), а
тому функція не може бути диференційовною
в цій точці. Таким чином, для диференційовності
функції
у точці
недостатньо тільки існування частинних
похідних: потрібно додатково вимагати
неперервності частинних похідних, що
випливає з поданої далі теореми.
Теорема 15. Якщо функція у деякому околі точки має неперервні частинні похідні, тоді вона диференційовна в точці .
Зауваження. Можна навести твердження про зв’язок між поняттями неперервності і диференційовності функції двох змінних у точці, аналогічні до тих, що виконуються для функції однієї змінної.
Теорема 16. Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці. Обернене твердження неправильне.