5.1.6. Неперервність функції двох змінних

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо .

Означення. Функція називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Приклад. Розглянемо функцію двох незалежних змінних

Ця функція має розрив у точці (0; 0), бо в точці для функції границі не існує (див. приклад в 1.1.5).

Тут ми спостерігаємо цікаве явище. Функція, що розглядається, не є неперервною в точці (0; 0) по двох змінних водночас, але є неперервною по змінних x та y окремо.

Приклад. Точки розриву можуть бути не тільки ізольованими, як у попередньому прикладі, а й заповнювати лінії, поверхні і т. п. Так, функції двох змінних , мають розриви: перша — прямі , друга — окіл .

Для функції трьох змінних , розриви заповнюють у першому випадку гіперболічний параболоїд , а в другому — конус .Означення. Нехай функція визначена на мно- жині Е, а змінні x і y, у свою чергу, залежать від змінних u та v і , , де обидві функції та визначені на множині D. Якщо для будь-якого значення , такі, що (рис. 5.12), то кажуть, що на множині D визначена складна функція , де , ; x, y — проміжні змінні, u, v — незалежні змінні.

Рис. 1.12.

Приклад. Функція , де , — складна функція. Вона визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді .

Означення. Функцію , яка визначена на множині називають неперервною по множині в точці , якщо .

Теорема 6. Нехай на множині D визначено складну функцію , де , , і нехай функції , неперервні в точці , а функція неперервна в точці , де , . Тоді складна функція неперервна в точці .

5.1.7. Властивості неперервної функції двох змінних

Теорема 7. Якщо функція неперервна в точці, то вона обмежена деяким околом цієї точки.

Теорема 8. Якщо функції та непе- рервні в точці , то в цій точці будуть неперерв- ними , , при .

Теорема 9. Якщо функція неперервна на замкненій обмеженій множині, то вона обмежена на цій множині.

Теорема 10. Якщо функція неперервна на замкненій обмеженій множині, то серед її значень на цій множині є як найменші, так і найбільші.

Теорема 11 (про нуль неперервної функції). Нехай функція неперервна на зв’язній множині D і набуває у двох точках А і В цієї множини значень різних знаків. Тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній функція перетворюється на нуль.

Теорема 12 (про проміжне значення). Нехай функція неперервна на зв’язаній множині D й у двох будь-яких точках А та В цієї множини набуває нерівних значень та . Тоді на цій множині вона набуває будь-яких значень , яке лежить між і , тобто існує така точка , що .

Термінологічний словник ключових понять

Зв’язна множина — це множина точок, будь-які дві з котрих можна сполучити ламаною так, щоб усі точки ламаної належали цій множині.

Обмежена множина — це множина, яка лежить повністю всередині деякого кола скінченного радіуса.

-окіл точки — це множина точок, координати яких задовольняють нерівність .

Внутрішня точка множини — це така точка, для якої існує -окіл, усі точки якого належать множині.

Зовнішня точка — це така точка, для якої існує такий -окіл, усі точки якого не належать множині.

Область — це множина, для якої виконуються умови:

1) кожна точка множини — внутрішня точка;

2) будь-які дві точки множини можна сполучити ламаною, усі точки якої належать множині.

Межова точка області — це точка, будь-який окіл якої містить точки, які належать і не належать області.

Межа — це сукупність усіх межових точок.

Замкнена область — це множина, до якої приєднані всі її межові точки.

Функція двох змінних вважається заданою, якщо кожній точці множини D, що належить площині, поставлено у відповідність за деяким законом одне і тільки одне дійсне число .

Границя В функції двох змінних при — це число, що задовольняє нерівність при будь-якому , якщо для нього існує таке , що .

Неперервна функція двох змінних у точці — це функція, яка визначена на множині і для якої