Представление дискретных сигналов и систем во временной и частотной области Импульсная характеристика дискретных систем

На вход дискретно системы подается последовательность чисел , на выходе имеем последовательность . Свойство линейности в дискретных системах аналогично, как и для непрерывных линейных систем

Соединение дискретных отсчетов сигнала на графике линиями было бы не совсем верно так как восстановление непрерывного сигнала из дискретного возможно с использованием более сложных интерполирующих функций

Выясним, каким образом линейная система может преобразовывать входной сигнал в выходной. Для этого рассмотрим реакцию системы на цифровую -функцию. Цифровая -функция – это сигнал вида:

Любой дискретный сигнал можно разложить в сумму таких функций, сдвинутых во времени

В этом выражении -функция – это базисная функция, а - коэффициенты в линейной комбинации

Если в этой формуле зафиксировать любой , то получим тождество

, так как все остальные члены суммы обратятся в 0, ибо -функция отлична от 0 только в нуле

Представление произвольного сигнала в виде линейной комбинации сдвинутых во времени -функций:

Отклик системы на -функцию называется импульсной характеристикой . Любой входной сигнал является комбинацией сдвинутых во времени -функций

Отклик системы на цифровую -функцию:

Вычисление выходного сигнала линейной системы по входному сигналу и импульсной характеристике системы

.

.

.

.

Рисунок 1.3 помогает понять смысл описания в частотной области или спектра , показывая, что содержит составляющие с частотой (Гц) и составляющие пониженной амплитуды с частотой (Гц)

Особенности рисунка:

1. Временные последовательности записываются строчными буквами, в частотной области большими буквами. В частотной области заменяем для отслеживания отдельных элементов

Можно перечислять члены последовательности точно так же, как мы это делали с членами временной последовательности:

Важную роль для дискретных сигналов и систем играют синусоидальные и комплексные экспоненциальные последовательности. Это объясняется тем, что основное свойство линейных инвариантных к сдвигу систем состоит в том, что в установившемся состоянии отклик на синусоидальный входной сигнал является синусоидой той же частоты с амплитудой и фазой, определяемой системами. Именно это свойство линейных инвариантных к сдвигу систем делает представление сигналов через синусоиды и комплексные экспоненты таким полезным

Для дискретных систем предположим, что входная последовательность является комплексной экспонентой круговой частоты и для

(1.13)

(1.14)

- частотная характеристика

Частотная характеристика описывает изменение комплексной амплитуды комплексной экспоненты как функцию частоты

В общем случае - это комплексная функция и может быть выражена через свои действительную и мнимую части или через модуль и фазу

Цифровая фильтрация Цифровая фильтрация сигналов

Эффект от умножения спектров сигналов при свертке называется фильтрацией. Когда спектры умножаются как комплексные числа происходит умножение амплитуд гармоник исходного сигнала и ядра свертки (а фазы складываются). Таким образом, мы получаем возможность менять спектр сигнала

Ядро свертки при фильтрации называется фильтром. Часто фильтром называется устройство, которое осуществляет процесс фильтрации. Длина или размер фильтра – это длина ядра свертки

В общем случае, фильтр меняет в спектре сигнала и амплитуды гармоник, и их фазы.

Есть фильтры, которые не меняют фазы сигнала. Такие фильтры называются фильтрами с линиями фазы. Это означает, что если они и меняют фазу сигнала, то делают это так, что все гармоники сигнала сдвигаются по времени на одну и ту же величину

Основное свойство любого фильтра – это его частотная и фазовая характеристики. Они показывают, какое влияние фильтр оказывает на амплитуду и фазу различных гармоник обрабатываемого сигнала, причем, если фильтр имеет линейную фазу, то рассматривается только частотная характеристика фильтра. Обычно она изображается в виде графика зависимости амплитуды от частоты (дБ)

Например, если фильтр пропускает все сигналы в полосе от 0 до 10 кГц без изменений, а все сигналы в полосе выше 10 кГц подавляет примерно в 2 раза (на 6 дБ), то частотная характеристика будет выглядеть следующим образом:

Частотная характеристика в 0 дБ показывает, что данные частоты фильтры пропускает без изменения. Те частоты, амплитуда которых ослабляется фильтром в 2 раза должны иметь амплитуду на 6 дБ меньше, т.е. -6дБ. Если бы фильтр усиливал какие-то частоты, то частотная характеристика была бы на этих частотах положительной

Типы фильтров: ВЧ, НЧ, полосовые – подавляют сигнал только в определенной полосе частот

Существуют и другие типы фильтров с более сложной частотной характеристикой. Обычно в задачах фильтрации сигнала для фильтра задается требуемая частотная характеристика. Целью является построить фильтр, отвечающий заданным требованиям и провести фильтрацию

Частотные характеристики реального и идеального фильтров

Реальные фильтры слегка изменяют сигнал в полосе пропускания. В полосе подавления они не совершенно подавляют сигнал, а уменьшают его амплитуду в тысячи раз. Их частотная характеристика обычно выглядит так: до частоты среза она достаточно ровная, потом начинает спадать. Крутизна спада и значения после спада определяются конкретным фильтром и требованиями к нему

В аналоговых системах под фильтром понимают некоторое линейное устройство со специальной частотной характеристикой , которая преобразует входной сигнал в выходной , подавляя или усиливая при этом определенные частоты в спектре входного сигнала. Выходной сигнал находится как свертка входного сигнала и импульсной характеристики фильтра :

По аналогии с аналоговым фильтром вводят понятие цифрового фильтра, которым называют вычислительное устройство, преобразующее последовательность отсчетов входного сигнала в числовую последовательность выходного сигнала

Для цифрового фильтра так же вводят понятие импульсной характеристики - это реакция цифрового фильтра на единичный импульс

Импульсную характеристику можно трактовать как результат дискретизации непрерывной импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа

Если взять конечное число отсчетов , то получится цифровой фильтр, который называется КИХ – конечная импульсная характеристика. Если же взять бесконечное число отсчетов то получится БИХ фильтр – бесконечная импульсная характеристика

Выходной сигнал, по аналогии с аналоговым видом, записывается как:

, (3.10)

Поскольку сигнал начинается с и для всех отрицательных значений выражение 3.10 можно переписать в следующем виде:

Для анализа и синтеза цифровых фильтров широко применяется -преобразование

Предположим, что дискретным сигналам соответствуют их -преобразования тогда в силу -преобразования их свертки будут соответствовать следующему:

(3.11)

Для цифровых фильтров вводят понятие системной функции фильтра. Это отношение . Тогда из 3.11 следует, что системная функция цифрового фильтра есть -образ его импульсной характеристики , т.е.

(3.12)

Системная функция позволяет легко найти частотную характеристику цифрового фильтра. Чтобы получить комплексный коэффициент передачи (частотную характеристику цифрового фильтра), достаточно в выражение вместо подставить , где - шаг дискретизации

Таким образом, получаем комплексный коэффициент передачи

(3.13)

Поскольку величина, обратная частоте дискретизации , выражение 3.13 можно записать в ином виде:

(3.13’)

Из последнего выражения видно, что частотная характеристика фильтра так же, как и в спектре дискредитированных сигналов является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации

Иллюстрация частотной характеристики цифрового фильтра нижних частот с частотой среза