Дискретизация периодических сигналов. Дискретное преобразование Фурье (дпф)

С периодическим сигналом поступают следующим образом: в начале его спектр ограничивают с помощью фильтра с частотой среза, равной эффективной ширине спектра сигнала , затем на отрезке , где - это период сигнала берут с интервалом , удовлетворяющим теореме Котельникова. К полученным отсчетам применяют операцию, которая называется ДПФ

Полученные значений представляют собой комплексные амплитуды гармоник спектра сигнала . По ним можно восстановить исходный аналоговый сигнал по формуле:

В частности, можно вернуться к отсчетам по формуле:

Выражения и являются дискретным аналогом обычной пары преобразований Фурье для непрерывных периодических сигналов. В настоящее время дискретный спектральный анализ является одним из главных методов исследования сигналов с помощью ЭВМ

Дискретная свертка сигналов. Z-преобразование дискретных сигналов

- свертка для аналоговых сигналов

По аналогии со сверткой непрерывных сигналов в теории дискретных систем вводят дискретную свертку – сигнал, отсчеты которого связаны с отсчетами дискретных сигналов соотношением:

Пример: вычислить свертку дискретных сигналов:

Решение:

Воспользовавшись алгоритмом дискретной свертки, осуществим непосредственное вычисление ее отсчетов. Для этого вначале выпишем отсчеты сигнала в прямой последовательности, а в обратной последовательности

Чтобы определить нулевой отсчет свертки, т.е. , совместим нулевые позиции полученных сигналов:

Итак,

При математическом описании дискретных сигналов и устройств, широко применяют -преобразование, которое является аналогом преобразования Лапласа для непрерывных сигналов

Пусть - это отсчетные значения некоторого дискретного сигнала. Тогда прямое -преобразование определяется суммой ряда:

, где - комплексная переменная

Функция определена только для области комплексной плоскости, в которой данный ряд сходится

Основные свойства -преобразования:

1. -преобразование линейно, т.е. сумме двух дискретных сигналов соответствует сумма их -преобразований

2. Если , то . является оператором задержки на одну позицию

3. Если и , то , т.е. свертке двух сигналов во временной области соответствует произведение -образов этих сигналов

Пример 2: найти -образы сигналов из предыдущего примера, т.е.

Решение:

Сравнивая с результатом, полученным для наблюдаем, что они идентичны

Корреляционный анализ дискретных сигналов

Для дискретных сигналов так же, как и для аналоговых, вводится понятие АКФ с той лишь разницей, что вместо операции интегрирования используют суммирование, а вместо переменной используют целое число , указывающее, на сколько позиций сдвинута копия относительно исходного сигнала

, где

- отсчетное значение дискретного сигнала

- отсчетное значение копии сигнала, задержанное на позиций

Эта функция обладает теми же свойствами, что и обычная АКФ, т.е.

1. 

2. - энергия сигнала

Вводится понятие ВКФ для дискретных сигналов:

В случае цифровых сигналов, вычисление по формулам АКФ и ВКФ вычисляется с помощью ЦПОС.

Вопрос о корреляционных свойствах дискретного сигнала в радиоэлектронных устройствах часто возникает на уровне линии передачи сигналов. При этом текущее время разбивается на элементарные промежутки, называемые позициями. Эти позиции отсчитываются синхронно как на передающей, так и на приемной стороне линии связи. Синхронизация осуществляется путем периодической передачи специальных сигналов синхронизации.

На каждой позиции сигнал может принимать одно из трех значений: 0, +1, -1.

Если положение 0 – это означает отсутствие информации

Если +1 – это значит в данный момент передается логическая единица

Если -1 – в данный момент передается логический ноль

Обычно передача сообщений по линиям выглядит так:

При отсутствии сообщения в линии наблюдаются одни нули, затем появляется первый сигнал, который занимает позиций и представляет собой некоторую +1 и -1. Далее идет пауза, состоящая из одних нулей, затем появляется второй сигнал, занимающий позиций и так далее

Пример трехпозиционного сигнала:

В случае А символу +1 соответствует положительное напряжение, символу -1 – отрицательное

В случае Б символу +1 соответствует отрезок колебания с нулевой начальной фазой, символу -1 соответствует отрезок колебания с начальной фазой . Такое фазовое кодирование подходит для беспроводных линий связи, где в качестве носителя используется высокочастотное колебание, называемое несущим

Оба случая могут быть записаны следующим образом:

…0001-11000…

АКФ данного сигнала: