Аналоговые системы

Система – это упорядоченная совокупность объектов, между которыми существуют определенные взаимодействия. Система – это так же некоторое преобразование сигнала

Система переводит сигнал в сигнал . Обычно все рассматриваемые системы инвариантны к сдвигу, т.е. . Это значит, что форма выходного сигнала зависит только от формы входного сигнала и не зависит от времени подачи сигнала

Для того, чтобы задать систему, необходимо задать вход, выход, математическую модель оператора , а так же указать области допустимых значений входных и выходных сигналов

Классификация систем

Все системы делятся на линейные и нелинейные

Линейными называются системы, для которых выполняется принцип суперпозиции, т.е. реакция на сумму сигналов равна сумме реакций на каждый сигнал, т.е.

Примером линейной системы является микрофон. Если в микрофон говорят два человека с разной громкостью, то электрический сигнал на выходе будет взвешенной суммой сигналов от каждого человека в отдельности, а коэффициенты будут определять громкость каждого человека

Свойства линейных систем:

• постоянный сигнал переводится любой линейной системой в постоянный сигнал

• при прохождении через линейную систему, синусоида остается синусоидой. Могут меняться лишь амплитуда и фаза (т.е. сдвиг по времени)

Следующим критерием классификации систем является постоянство или непостоянство их характеристик во времени.

Если произвольная задержка входного сигнала приводит лишь к такой же задержке выходного сигнала, не меняя его формы, система называется стационарной (система с постоянными параметрами). В ином случае, система называется нестационарной (параметрической или системой с переменными параметрами)

Таким образом, существуют следующие системы:

• линейные стационарные (они чаще всего используются в радиоэлектронике)

• линейные нестационарные

• нелинейные стационарные

• нелинейные нестационарные

Примеры записи для этих систем:

Пример 1. Линейная стационарная система

, т.е.

Пример 2. Линейная нестационарная система

, т.е.

Пример 3. Нелинейная стационарная система

, т.е.

Характеристики линейной стационарной системы

Любая линейная стационарная система может быть полностью задана одной из следующих характеристик:

1. Переходная характеристика. Она является реакцией системы на функцию включения (функция Хэвисайда)

2. Импульсная характеристика. Это реакция системы на функцию Дирака

3. Частотная характеристика (комплексный коэффициент передачи системы)

где - ФЧХ, - АЧХ

Значение показывает, как изменяется при прохождении через систему комплексная амплитуда синусоиды с частотой

АЧХ показывает, во сколько раз изменится амплитуда синусоиды, а ФЧХ – какой будет полученный синусоидой фазовый сдвиг.

АЧХ является четной функцией, ФЧХ – нечетной функцией частоты

Формулы взаимодействия:

Анализ показывает, что знание хотя бы одной из характеристик позволяет найти ее реакцию на любой сложный входной сигнал. Ограничимся рассмотрением импульсной и частотной характеристикой

Нахождение выходного сигнала с помощью импульсной характеристики

В этом случае выходной сигнал есть свертка входного сигнала и импульсной характеристики

Для физически реализуемой системы при

Получим

Частный случай, когда начинает действовать с момента , т.е. . В этом случае выражение перепишется следующим образом:

Нахождение выходного сигнала с помощью частотной характеристики

В этом случае вычисление производится по следующей схеме:

Дискретные системы

Обобщенная структурная схема дискретной системы

Входной аналоговый сигнал переводится в систему отсчетов и поступает на устройство обработки, с которого снимается выходная импульсная последовательность . Эта характеристика сглаживается фильтром

Частным случаем дискретной системы является система ЦОС, когда последовательность входных отсчетов оцифровывается. В этом случае устройство обработки должно иметь АЦП и ЦАП

Дискретизация аналогового сигнала по времени. Теорема Котельникова. Наложение спектров (алиасинг)

Произвольный сигнал , спектр которого ограничен частотой , может быть полностью восстановлен по последовательности своих отсчетов, взятых с интервалом

При этом восстановление осуществляется с помощью ряда

Чтобы понять физическую суть теоремы, рассмотрим спектры сигналов и :

содержит в себе и еще бесконечное число копий , расположенных друг относительно друга на частоту дискретизации. Поэтому, если пропустить сигнал через ФНЧ, АЧХ которого показана на рисунке, на выходе ФНЧ останется только , т.е. восстановленный сигнал

При частоте дискретизации копии не пересекаются с основным лепестком спектра и восстановление исходного сигнала возможно.

При копии соприкасаются с основным лепестком, однако исходный сигнал еще возможно восстановить с помощью идеального ФНЧ с бесконечной крутизной спада АЧХ

При лепестки спектра перекрываются и восстановление исходного сигнала становится невозможным

На практике частоту всегда выбирают больше, чем , т.к. нет фильтров с идеальной АЧХ

Спектр идеального сигнала редко имеет точную верхнюю границу . Чаще всего уменьшается с ростом частоты, приближаясь к 0. В таком случае на входе дискретизирующего устройства помещают ФНЧ, имеющего частоту, равную эффективной ширине спектра исходного аналогового сигнала. Его назначение – убрать хвосты спектра за пределами и тем самым исключить перекрытие лепестков спектра

Что произойдет, если попытаться оцифровать сигнал с недостаточной для него частотой дискретизации? В этом случае по полученной цифровой выборке нельзя будет верно восстановить исходный сигнал. Восстановленный сигнал будет выглядеть таким образом, как если бы частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, отразились от половины частоты дискретизации, перешли в нижнюю часть спектра и наложились на частоты, уже присутствующие в нижней части спектра. Этот эффект называется наложением спектров или алиасинг

Предположим, мы попытались оцифровать музыку, спектр которой ограничен частотой 20 кГц. При записи какой-то прибор создал помеху с ультразвуковой частотой 39 кГц, которая проникла в аналоговый звуковой сигнал. Оцифровка осуществляется с частотой 44,1 кГц, при этом мы предполагаем, что звук, лежащий ниже частоты 22,05 кГц, будет записан правильно, но поскольку помеха лежит выше частоты 22,05, то возникает алиасинг и помеха отразиться в нижнюю часть спектра на частоту около 5 Кгц. Таким образом, если пропущенный сигнал мы пропустим через ЦАП и прослушаем результат, то мы услышим на фоне музыки помеху на частое 5 Кгц. Таким образом, помеха переместилась из неслышимой ультразвуковой области в слышимую область.

Как избежать алиасинга?

1. Использовать более высокую частоту дискретизации, чтобы весь спектр записываемого сигнала уместился ниже половины частоты дискретизации

2. Искусственно ограничить спектр сигнала перед оцифровкой. Фильтр называется антиалиасинговым. Он пропускает без изменения все частоты ниже заданной и удаляет из сигнала все частоты выше заданной. Эта граничная частота называется частотой среза фильтра. Частота среза антиалиасинговых фильтров устанавливается равной половине частоты дискретизации

В реальных АЦП почти всегда встраиваются антиалиасинговые фильтры.

Таким образом, искусственной ограничение спектра допускается. Алиасинг недопустим

Упражнение 1. Известно, что для получения разборчиво звучащей человеческой речи достаточно оцифровать ее с частотой 8 кГц. Какой диапазон частот может быть правильно передан такой записью? Что необходимо предпринять при оцифровке для правильной передачи этого диапазона?

Пропускается от 0 до 4. Ставиться антиалиасинговый фильтр с частотой 4 кГц, чтобы ограничить спектр человеческой речи выше 4 кГц

Упражнение 2. При проектировании АЦП с частотой дискретизации 44 кГц был ошибочно реализован антиалиасинговый фильтр. Его частота среза была установлена на 24 кГц. К каким эффектам может привести такой АЦП? Какая область частот в записи может быть испорчена? Отразиться ли это на качестве звучания звукозаписи?

Будет алиасинг на частотах 20-22 кГц, но на качестве записи это не отразится, т.к. человек не воспринимает выше 20 кГц

Упражнение 3. Что будет, если частоту среза антиалиасингового фильтра установит ниже половины частоты дискретизации?

Алиасинга не будет, но передаваемый частотный диапазон будет использоваться не полностью