1. Аналітичне розв'язування диференціальних рівнянь

Структури систем електроприводів зручно зображувати з'єднанням окремих ланок, кожна з яких описана передатною функцією Лапласа. Такий опис зручний для аналізу режимів роботи системи, синтезу регуляторів, є наочним.

Передатні функції простих типових ланок відомі. Це дає можливість створювати математичні моделі систем як системи диференціальних рівнянь за відомими передатними функціями шляхом переходу від зображення до оригіналів нескладними перетвореннями. Таке перетворення дає можливість отримати аналітичний розв’язок диференціального рівняння лінійної системи за умови наявності прямого перетворення Лапласа вхідного сигналу x(t). Прикладом такого розв’я­зуван­ня є знаходження перехідної характеристики лінійної системи (реакції системи на одиничний стрибкоподібний сигнал, для якого перетворення Лапласа відоме: ). У цьому випадку використання доступних тепер засобів комп’ютерної аналітичної математики, наприклад, пакету MathCAD, дозволяє просто вирішити задачу знаходження часових залежностей.

Приклад: Знайти часову залежність вихідної ЕРС e_G(t) генератора постійного струму за умови подання номінального збудження для нульових початкових умов. Номінальна напруга збудження U_d = 110 В, стала часу кола збудження T_d = 0.85 с, коефіцієнт підсилення генератора за напругою K_G = 2,1.

MathCAD

Номінальна напруга збудження Ud := 110 Стала часу кола збудження Td := 0.85 Коефіцієнт підсилення генератора KG := 2.1 Передатна функція генератора за напругою: Відображення ЕРС за Лапласом для стрибкоподібного завдання збудження: Знаходимо оригінали засобами аналітичної математики пакету: Будуємо часові залежності для t : = 0, 0.1 .. 5

2. Числові методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь

Найпростішим і водночас найменш точним числовим методом розв’язування диференціальних рівнянь є метод Ейлера (Euler). Для лінійного диференціального рівняння першого порядку, яке записане у нормальній формі Коші з початковими умовами в рівновіддалених точках з кроком , наближені значення інтегральної функції його розв'язку послідовно обчислюються за формулою Ейлера:

; .

Точнішим і значно ефективнішим методом числового інтегрування є неявний метод трапецій:

.

Однією з найвідоміших є широко використовувана (у тому числі й в математичних пакетах) формула Рунґе-Кутта четвертого порядку, яку через популярність називають просто методом Рунґе-Кутта:

,

де ; ;

; .

Вибір кроку

Основним критерієм вибору величини кроку інтегрування є здатність відтворення досліджуваних процесів з мінімальними втратами часу і точності. У першу чергу це пов’язане з теоремою відліків, яка доводить, що для відтворення обмеженого частотою _max спектру сигналу частота відліків ₀ повинна бути, принаймні, вдвічі вищою від максимальної частоти відтворюваного спектру _max , тобто,

, де ; h – крок інтегрування.

Вважається [¹], що задовільним є крок, який забезпечує передачу 90-95% енергії спектру вхідного сигналу. Відповідно, для моделювання повільних процесів достатнім є більший крок, а для швидкоплинних величину кроку інтегрування доводиться зменшувати. До речі, це ефективно здійснюється алгоритмами з автоматичним вибором кроку інтегрування, які широко використовуються сучасними математичними пакетами і програмами. Завдяки цій властивості (можливості пристосування (адаптації) кроку до поведінки координат досліджуваної моделі) найбільшого розповсюдження отримали саме алгоритми з автоматичним вибором кроку інтегрування, які складають основну частину сучасних процедур розв’я­зу­вання звичайних диференціальних рівнянь.

Іншим обмеженням на значення кроку інтегрування є стійкість використаного числового методу: для більшості формул числового інтегрування звичайних диференціальних рівнянь крок розв'язування h не повинен перевищувати величину (1...3)T_min , де T_min – найменша стала часу досліджуваної системи, інакше можливе виникнення числової нестійкості процесу інтегрування.

Попередній вибір величини фіксованого кроку розв’язування системи диференціальних рівнянь, що описують динаміку електроприводу, є порівняно простою задачею, загальні рекомендації є такими:

• для методів невисокого порядку (наприклад, формули Ейлера) значення кроку береться приблизно 10% – 20% значення найменшої сталої часу системи;

• для методів вищих порядків (наприклад, Рунґе-Кутта четвертого порядку) крок можна збільшити до 25% – 50% значення найменшої сталої часу.

Після попереднього вибору кроку інтегрування доцільно провести процедуру уточнення величини кроку для зменшення можливих похибок і підвищення ефективності роботи програми. Уточнення величини кроку можна зробити шляхом його збільшення і зменшення вдвічі: якщо процес стає нестійким чи вигляд процесу починає змінюватись (наприклад, зростає коливність розв’язку), крок зменшують.