Пример 3
Пусть требуется вычислить значение многочлена Лагранжа Ln(x) в точке х. Тогда необходимо составить следующую таблицу:
i |
xi |
Разности |
yi |
Di |
yi/Di |
|||||
0 |
x0 |
(x-x0) |
(x0-x1) |
(x0-x2) |
(x0-x3) |
(x0-x4) |
(x0-x5) |
y0 |
… |
… |
1 |
x1 |
(x1-x0) |
(x-x1) |
(x1-x2) |
(x1-x3) |
(x1-x4) |
(x1-x5) |
y1 |
… |
… |
2 |
x2 |
(x2-x0) |
(x2-x1) |
(x-x2) |
(x2-x3) |
(x2-x4) |
(x2-x5) |
y2 |
… |
… |
3 |
x3 |
(x3-x0) |
(x3-x1) |
(x3-x2) |
(x-x3) |
(x3-x4) |
(x3-x5) |
y3 |
… |
… |
4 |
x4 |
(x4-x0) |
(x4-x1) |
(x4-x2) |
(x4-x3) |
(x-x4) |
(x4-x5) |
y4 |
… |
… |
5 |
x5 |
(x5-x0) |
(x5-x1) |
(x5-x2) |
(x5-x3) |
(x5-x4) |
(x-x5) |
y5 |
… |
… |
Далее
необходимо вычислить
(это произведение подчеркнутых разностей)
и сумму последнего столбца
.
Тогда получаем
Задача 3
Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана своей таблицей. Вычислить значение функции F(х) при х=0,263
x |
0,05 |
0,10 |
0,17 |
0,25 |
0,30 |
0,36 |
y |
0,050042 |
0,100335 |
0,171657 |
0,255342 |
0,309336 |
0,376403 |
Воспользовавшись формулой (3.3) составим таблицу разностей
0,263 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
xi |
Разности |
yi |
Di |
Yi/Di |
|||||
0 |
0,05 |
0,213 |
-0,05 |
-0,12 |
-0,2 |
-0,25 |
-0,31 |
0,050042 |
-2E-05 |
-2526,23 |
1 |
0,1 |
0,05 |
0,163 |
-0,07 |
-0,15 |
-0,2 |
-0,26 |
0,100335 |
4,45E-06 |
22547,7 |
2 |
0,17 |
0,12 |
0,07 |
0,093 |
-0,08 |
-0,13 |
-0,19 |
0,171657 |
-1,5E-06 |
-111202 |
3 |
0,25 |
0,2 |
0,15 |
0,08 |
0,013 |
-0,05 |
-0,11 |
0,255342 |
1,72E-07 |
1488007 |
4 |
0,3 |
0,25 |
0,2 |
0,13 |
0,05 |
-0,037 |
-0,06 |
0,309336 |
7,21E-07 |
428740,1 |
5 |
0,36 |
0,31 |
0,26 |
0,19 |
0,11 |
0,06 |
-0,097 |
0,376403 |
-9,8E-06 |
-38392,7 |
Вычисляем П5+1(0,263)=(0,263-x0)(0,263-x1)(0,263-x2)(0,263-x3)(0,263-x4)
(0,263-x5)=0,150649210-6,
сумма последнего столбца
,
отсюда
Вычисления вручную довольно громоздки и длительны, но такую таблицу легко составить с помощью электронной таблицы.
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
1 |
0,263 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
i |
xi |
Разности |
yi |
Di |
yi/Di |
|||||
3 |
0 |
0,05 |
= |
=B3-$B$4 |
=B3-$B$5 |
=B3-$B$6 |
=B3-$B$7 |
=B3-$B$8 |
0,050042 |
=ПРОИЗВЕД (С3:H3) |
=I3/J3 |
4 |
1 |
0,1 |
=B4-$B$3 |
|
|
|
|
|
0,100335 |
|
|
5 |
2 |
0,17 |
|
|
|
|
|
|
0,171657 |
|
|
6 |
3 |
0,25 |
|
|
|
|
|
|
0,255342 |
|
|
7 |
4 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
0,309336 |
|
|
8 |
5 |
0,36 |
|
|
|
|
|
|
0,376403 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=ПРОИЗВЕД (С3,D4,E5, F6,G7,H8) |
|
=СУММ (K3:K8) |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=I9*K9 |
|
|
$A$1-$B3Заполняем таблицу по образцу. Затем копируем ячейку C4 в C5:C8, ячейку D3 в D5:D8, ячейку E3 в E4, E6:E8, ячейку F3 в F4, F5, F7,F8, ячейку G3 в G4:G6, G8, ячейку H3 в H4:H7, ячейку C3 в D4, E5, F6, G7, H8, ячейку J3 в J4:J8, ячейку K3 в K4:K8.
В результате вычислений получаем в ячейке I10 значение многочлена Лагранжа.
Варианты самостоятельных работ для задачи 3 см. Приложение 2