§ 1. Численное интегрирование

1. Постановка задачи.

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида (1.1)

где f(x) данная функция, непрерывная на отрезке [a; b]. Если функция f(x) задана формулой и мы умеем найти неопределенный интеграл F(x), то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

(1.2)

Если же неопределенный интеграл данной функции мы найти не умеем, или по какой-либо причине не хотим воспользоваться формулой (1.2), или если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла (1.1) существует много численных методов, из которых рассмотрим три основных: 1) метод прямоугольников; 2) метод трапеций; 3) метод Симпсона.

При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x)0 на отрезке [a; b], то численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b (рис. 1.1).

Т аким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.

2. Метод прямоугольников.

Р азделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точки деления будут: x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2h, ... , x_n-1=a+(n-1)h; x_n=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y₀, y₁, y₂, ... , y_n. Cтало быть, y₀=f(a), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), ... , y_n=f(b). Числа y₀, y₁, y₂, ... , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂, ... , x_n (рис. 1.2). Из рис. 1.2 следует, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

(1.3)

(1.4)

Формула (1.3) называется формулой левых прямоугольников, (1.4) - формулой правых прямоугольников, (1.5) - формулой средних прямоугольников.

(1.5)

Алгоритм вычисления для формулы (1.3)

Задача 1.

Вычислить по методу левых прямоугольников:

{Программа 1.1}

program integral1;{Метод левых прямоугольников}

uses crt;

var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;

function f(x:real):real;

begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;

begin

clrscr;

gotoxy(10,10);

textbackground(1);

write('Введите нижний предел интегрирования ');

readln(a);

gotoxy(10,12);

write('Введите верхний предел интегрирования ');

readln(b);

gotoxy(10,14);

write('Введите количество отрезков ');

readln(n);

h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;

for i:=0 to n-1 do

begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;

gotoxy(10,18);

writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln;

end.

Задача 2

Вычислить по методу правых прямоугольников:

{Программа 1.2}

program integral; {Метод правых прямоугольников}

uses crt;

var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;

function f(x:real):real;

begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;

begin

clrscr; gotoxy(10,10); textbackground(1);

write('Введите нижний предел интегрирования ');

readln(a); gotoxy(10,12);

write('Введите верхний предел интегрирования ');

readln(b); gotoxy(10,14);

write('Введите количество отрезков '); readln(n);

h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;

for i:=1 to n do

begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;

gotoxy(10,18);

writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln;

end.