Пример 2

Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию у(1)=2

Решение:

Общее решение: у=Сх. Полагая у₀=2, х₀=1 получим 2=С1 и  С=2

Частное решение: у=2х

Задачи для самостоятельного решения.

Доказать, что функция f является решением указанного дифференциального уравнения.

Найти С по начальному условию у(0)=1

Определение. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Из всех разделов математического анализа, дифференциальные уравнения являются одним из самых важных по своим приложениям, ибо решая дифференциальное уравнение, т.е. находя некоторую функцию, мы устанавливаем закон, по которому происходит то или иное явление или процесс.

3. Постановка задачи численного решения дифференциального уравнения

Определение. Решить задачу Коши для уравнения y'=f(x,y) (6.1) – это значит найти решение уравнения y'=f(x,y) в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию у(х₀)=у₀

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку M₀(x₀,y₀) при выполнении равенства (6.1).

В классическом анализе разработано немало приемов нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные функции. Между тем весьма часто при решении практических задач эти методы оказываются либо совсем беспомощными, либо их решение связывается с недопустимыми затратами усилий и времени.

Например дифференциальное уравнение у'=у²+х² не имеет аналитического решения.

По этой причине для решения задач практически созданы методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Чаще всего при численном решении дифференциальных уравнений получают решение в виде таблицы, либо строится график искомой функции (что почти равносильно).

4. Метод Эйлера.

В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в табличной форме.

Пусть дано дифференциальное уравнение (6.1). Найти приближенное численное решение этого дифференциального уравнения, т.е. составить таблицу приближенных значений функции у=у(х) удовлетворяющей заданным начальным условиям.

x	x0	x1	x2	x3	x4	x5	…	xn
y	y0	y1	y2	y3	y4	y5	…	yn

Где, x_i=x₀+ih, – шаг таблицы.

Приближенно можно считать, что правая часть в (6.1) остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностными отношениями по приближенной формуле:

y-y₀=f(x₀,y₀)(x-x₀)

y=y₀+f(x₀,y₀)(x-x₀)

если x=x₁, то

y₁=y₀+f(x₀,y₀)(x₁-x₀)

y₁=y₀+hf(x₀,y₀)

y₀=hf(x₀,y₀)

если x=x₂, то

y₂₌y₁+f(x₁,y₁)(x₂-x₁)

y₂=y₁+hf(x₁,y₁)

y₁=hf(x₁,y₁)

…

если x=x_i+1, то

y_i+1=y_i+hf(x_i,y_i)

y_i=hf(x_i,y_i)

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

y_k=hf(x_k,y_k)

y_k+1=y_k+y_k

где k=0, 1, 2, … ,n

Г еометрически эти формулы означают, что на отрезке [x_i, x_i+1] интегральная кривая заменяется отрезком касательной к кривой (см. рис. 6.3, рис. 6.4).